L? = -P + LH

probabilité

d'où:

L'intégrale

= He~

If-

T<flirfni

doit être égale à l'unité pour toutes les valeurs possibles de x et de y.

7. Ce raisonnement donnerait prise aux mêmes objections que le raisonnement de Gauss. Admettons cette loi. On peut construire les courbes :

P = constante, en plaçant l'origine au point visé, c'est-à-dire à très peu près le point moyen. Le problème est analogue à celui du tir à la cible.

Les points se répartissent conformément à la loi de Gauss généralisée.

Les courbes P = const. seront des ellipses concentriques ' ayant les mêmes directions d'axes.

Considérons l'une de ces ellipses : je mène par plusieurs droites qui partagent le plan en secteurs. 1, 2, 3, 4.

Soit», la partie inférieure à l'ellipse du premier secteur, S, la partie extérieure.

S'il y a un très grand nombre de points de chute, ils se

seizième leçon 205

répartiront à peu près proportionnellement à leurs probabilités. Dans», il y aura n, points, dans S, il y en aura N ( . La théorème qui résulte immédiatement de la formule est le suivant :

Dans chaque secteur, il y a le même rapport entre le nombre des points intérieurs et le nombre des points extérieurs à l'ellipse.

8. Si Les observations sont indépendantes, ç est le produit de deux fonctions. P sera alors la somme de deux fonctions dépendant chacune d'une seule variable, donc le terme en t, -q, disparaît.

Cela veut dire que les ellipses ont leurs axes parallèles aux axes de coordonnées.

Pour que l'écart entre le point visé et le point observé soit indépendant de la direction, l'ellipse devra se réduire à un cercle.

On pourrait encore regarder comme indépendantes l'erreur en abscisse et l'erreur en rayon vecteur.

C'est là-dessus qu'était basée une démonstration de la loi de Gauss, déjà citée, et dépourvue de valeur.

9. La méthode des moindres carrés sert à déterminer des quantités w,, Kj..., u p qu'on ne peut mesurer directement, mais dont on mesure certaines fonctions *,, s t ..., z„.

Pour les mesures de:,, z. À ..., z,„ n observations ont donné v„ oc t ..., ï„ ; on a commis des erreurs. Sur z t l'erreur y f

Le problême ne se pose que pour n > p, car, pour n = p, le système d'équations donne une solution; pour n < p, il n'y a pas assez d'équations, et le problème est indéterminé.

Pour n > p, il y a trop d'équations : quelles sont alors les quantités les plus convenables à prendre pour les u ?

Éliminons les p quantités « ; on est conduit an — p équations :

Ce sont les équations de condition.

On a parfois avantage à prendre les équations de condition sous cette forme.

Parfois il est préférable d'exprimer les z en fonction des u.

Nous traiterons un exemple avec l'une et l'autre méthode : le premier relatif aux planètes, le second à un problème de triangulation .

1. La première partie de la méthode des moindres carrés, que nous abordons immédiatement, est de déterminer les valeurs les plus convenables des u. Dans une deuxième partie, nous nous occuperons de l'erreur commise.

La cause inconnue est que les quantités u soient comprises entre certaines limites ; les quantités observées xt sont ellesmêmes comprises entre certaines limites. Appliquons une fois de plus la formule :

u, est la probabilité a priori pour que la cause ait été mise en jeu, c'est-à-dire ici pour que les quantités w soient comprises entre w, etw, -\-du t , u, etw, + rf« a , ..., u p elu p -\-du p . Cette probabilité peut se représenter par :

1(1 (u,, «g, ..., m^) du t <iu i ... du p .

<J- aura des formes variées suivant l'idée qu'on se fera a priori des quantités u ; il y a là un très grand degré d'arbitraire.

Pi est la probabilité pour que xt soit comprise entre xi et x/-\-f/xi,en supposant que les u aient eu les valeurs que nous leur avons attribuées. *,,*},..., z„ étant données en fonction des m, la probabilité de l'erreur commise sur chacune d'elles

208 CALCUL DBS PROBABILITES

sera respectivement :

ç* (y«) rf y* = ? (** — **) dx «-

La probabilité pi que nous cherchons est celle pour laquelle toutes ces circonstances se produisant à la fois; c'est une probabilité composée:

Pi = Ti (y.) h (l/iï ■ ■ ». {yn).dy t dy t ... dy„. J'abrège un peu l'écriture en posant :

du,du, t ... rfttp = rfw, et d'autre part :

ti (y t ) <h (y») — t« (y») = n

dy,dy 2 ... Uy„ = dœ t dx a ... dx n = dm'.

Alors jiftj,- est égal à :

Pidt ~ ll^dtodio' et:

Comme on n'intègre que par rapport à d», dut' disparait.

Telle est la probabilité qu'il s'agit de connaître, à savoir la probabilité a posteriori pour que u; soit compris entre u, et u, -\- dut. Cette probabilité, puisque le dénominateur est constant, est proportionnelle a n , fonction des «, et à J- dm

DIX-9BPTIÈME LEÇON 209

qui représente la probabilité a priori et qui est aussi fonction des u.

2. Pour obtenir la valeur la plus probable des quantités «, il faut chercher le maximum de n <|> da>.

L'hypothèse la plus simple sur ty est i{- = 1 : reste à déterminer le maximum de n.

L'hypothèse la plus simple sur les T est que les erreurs suivent la loi de Gauss.

n = c«-(*in , t*** t+ *- + *- ,r . ,, i

n sera maximum quand la parenthèse sera minimum, c'est-à-dire :

Mî +>wl + - + Mi

C'est une fonction connue des u : les quantités A,, h 3 ,.,., .A» représentent les poids des observations, et ce qu'il faut rendre minimum, c'est la somme des carrés des erreurs commises, chaque carré étant multiplié par le poids de l'observation correspondante.

8- On arriverait au même résultat sans admettre la loi de Gauss, pourvu que l'on suppose les erreurs accidentelles petites et les erreurs systématiques nulles.

En effet, supposons les quantités y très petites : quelle que soit la forme attribuée aux fonctions y , nous serons amenés à quelque chose d'analogue. 11 s'agit de rendre maximum le produit des ?f .

CALCUL DBS PROBABILITES. H

Je suppose tft paire, et je développe par la formule de Taylor hf t changé de signe.

— l"p s fa) = «j + *ïï/î + CjyJ + ...

— Lf a (y„) = a H -f 6„y* + c„y* + ...

La somme des logarithmes changés de signe doit être minimum, c'est-à-dire:

2<i, + E%? -f Sc#/ + ...

Je différence par rapport à w* :

duk

dut,

Comme les yi sont supposés très petits, on peut en négliger les puissances supérieures, et tout se passe comme si nous avions à rendre minimum 2 b t y}. En admettant donc que la loi deOauss ne soit pas vraie, la véritable loi n'en sera pas très différente dans l'intervalle utile.

De deux choses l'une, nu bien les observations sont sensiblement concordantes, et, comme nous venons de le voir, lu méthode des moindres carrés sera applicable; ou bien, elles ne sont pas sensiblement concordantes, et dans ce cas les observations ne vaudront rien et il n'y aura rien à en tirer.

4. Nous ne saurions cependant nous contenter du raisonnement qui précède, car ce que nous voulons obtenir, c'est la valeur probable des m (et non la plus probable).

La probabilité pour que x soit compris entre x et x ■ \ t/a

étant f {x) dx, la valeur la plus probable de x est celle qui rend maximum a (x) dx.

La valeur probable de x est / Xf (x) dx.

La valeur probable de m étant «„, la valeur probable de la fonction z,

z = u>, ne aéra pas «J.

Mais « les z sont fondions linéaires des u, les valeurs probables des z correspondent aux valeurs probables des u.

Cnrfm représente la probabilité pour que la i* quantité k, soit comprise entre «/ et u t -j- du/.

Soit u* la valeur probable de u* :

^^fCUutd».

La valeur probable de *,-, soit *), sera :

m1 =fCïl (A,,», -1- A,,*, + ... -f- A*», + B,) rfw,

ou :

*1 = A^Jcn «,**, + A (î J*cn «,do> + ...

+ A, p J"CII«/'"> + BjJ'Cnrf»,

et comme fciltlta est ta valeur probable de l'unité, c'est-àdire 1,

a ? = A„wî + A„w! + ... + A,„ «î + B,.

.nzcovGooqle

5. Je vais supposer d'une part ty constant ; d'autre part que la loi des erreurs est celle de Gauss ; enfin que les * sont liées aux w par des relations Linéaires.

Je vais établir que la valeur probable des u est celle qui est donnée par la méthode des moindres carrés.

Le produit pt tsi atteint son maximum quand la fonction P :

est minimum.

Soient uf, u\, ... u" ? les valeurs des u qui rendent cette expression minimum. Ces valeurs seront aussi, comme nous allons le voir, les valeurs probables des u.

On a:

La valeur probable de u k est :

jfndv fnda>

Il faut démontrer que :

/ QMftrfu ut= J .

fna\>

c'est-à-dire:

fn (u k —u%) d<o =o.

ait est connu, x t est du premier degré par rapport aux u : p

est donc un polynôme du second degré par rapport aux h. P atteint son minimum qnand :

«, =«î, « ï = «î a* = ttï,...

Cela veut dire que :

P a étant un polynôme homogène et du second degré par rapport à (u, — wj), («, - uj), .... («* - «*'), ... ; et P étant la valeur de ce minimum .

Nons avons a démontrer que :

. fCe-*« fl- p > (m* — ut) dm = o

Ce- p o e- p » est une fonction paire des quantités u, — «y, t*t — «* est une fonction impaire. Comme l'intégrale est prise de — » à -(- °° i elle est bien nulle.

Ainsi ces valeurs des u sont non seulement les valeurs les plus probables, mais les valeurs probables.