SB

3. Telle est la correction à faire pour rendre minimu valeur probable du carré de l'erreur après la correction. Elle est conforme à la méthode des moindres carrés. En effet yj, yî,y$ vérifient :

Kvi + A ï?i + Ajïî = !*- B,y,' + &a/i + B,y; = K*.

Pour calculer lesyj, il faut rendre minimum la

des yj a .

Donc :

^■y'tdy't — o- D'autre part :

E-Myî = o,

SBjrfyi = o.

La première de cea deux équations doit être une conséquence des deux autres; donc :

y\ = «A, + e'B,, d'où:

«SA* -f- «'SAB = |*,

«EAB + «'EB« = [*'.

et par symétrie :

3igiteedby G00gle

En éliminant i et e' entre ces 3 équations :

SA* SAB p.

SAB SB» (/ = o.

Le déterminant est le même que le précédent.

Ainsi le résultat est le même, qu'on applique la méthode des moindres carrés, ou bien qu'on fasse la correction de façon à rendre minimum la valeur probable du carré de l'erreur après correction.

4. On peut se demander maintenant quelle est cette valeur minimum : c'est celle de w'P. La valeur de P peut être mise sous une forme plus simple. Rendons-le homogène :

P = (A,X ( -f B,Jl,' — AÏ) , + (A 1 X I +B S À 1 ') , 4-(A,J 4 +B.X,') 1 ,

et appliquons le théorème des fonctions homogènes :

SP

dy,

Or

dP dl,

et

dr,

sont nuls ;

; il reste

dV

~2dX',

Le produit par m* est la valeur probable du carré de l'erreur qui subsiste après la correction.

Quand les observations deviennent de plus en plus nombreuses, la valeur probable du carré de l'erreur va en diminuant.

DIX-NEUVIÈME LEÇOH 5. Introduisons une quatrième quantité et une équation de condition :

c #4 + c &* + ^aVï + c 4y» = I** Tout à l'heure nous avions à rendre minimum :

(1) Ùr.-J.K-l.V)"!

maintenant c'est :

(2) (y, - \ lV . - X ( >' - v lV .y.

Il y a une indéterminée de plus, XJ ; le minimum de l'expression (2) est évidemment plus petit que celui de l'expression (1) ; car il suffit de faire Àf = dans l'expression (2) pour retomber sur l'expression (1),