D'une manière générale, soit un nombre fini d'inconnues
p est connu.
Je suppose que la probabilité pour que u t soit compris entre uelu-\- du est représentée par la loi de Gauss,
'''■'Vk-
La probabilité pour que l'un des u s'écarte de zéro sera d'autant plus petite que h sera plus grand.
Nous connaissons les valeurs de certaines fonctions des w,
en supposant les observations parfaitement exactes.
n est plus petit que p, il y a plus d'inconnues que d'observations.
Je suppose que les x sont fonctions linéaires des u ; c'est
ainsi que, dans l'exemple qui précède, les B étaient fonctions
linéaires des A et que l'on avait :
Je pose donc :
Vk = CX + Cju, -f ... 4- C r k u p
Les observations nous ont appris que y k est compris entre t£k et x/, -|- dxi,. Chercher les m, c'est résoudre un problème de probabilité de causes. Les causes, c'est que les u sont compris entre certaines limites ; les effets observés, c'est que lesœ sont compris entre certaines limites.
La formule
va se simplifier ici.
4. Si les w ont des valeurs déterminées, les fonctions linéaires cet auront également des valeurs déterminées, et la probabilité de ces valeurs sera la certitude ; suivant que ces fonctions tomberont on non entre les limites données par l'observation, la probabilité sera 1 ou 0. Donc la formule de la probabilité a posteriori se simplifie en
Ect,'
si l'on a représenté par p, la probabilité de l'effet quand la cause agit.
yirs/ porte sur toutes les probabilités relatives aux valeurs des m compatibles avec les observations ; ai est la probabilité a priori pour que les diverses quantités u soient comprises entre certaines limites.
VIITQT-DEUXIBME LEÇON Î67
La k % inconnue a pour probabilité d'être comprise entre w* et 11* -f- du k
U h ± e -hk«#dk;
rs t comporte p facteurs analogues :
o, = \/ h, \ p " ^ *-fc - '+ J «*i+-+V*Uta 4 * l ... du,;
j'écrirai pour abréger :
si,- = Tîdtt t du t ... ditp d'où:
Scj, = fT[du t du t ... dup.
Il faut intégrer pour tontes les valeurs des u compatibles avec les observations, c'est-à-dire satisfaisant aux inégalités
x k < Cii*, + Cî«, -|- ... -|- C t w„ < x„ -f dx k .
La probabilité cherchée sera :
I ïldu.du. ... du,,
quand les w satisferont aux inégalités ci-dessus. Sinon l'on aura comme probabilité.
5. Si je cherche la valeur probable d'une fonction quelconque F des u :
fFndu { du t ... du p F= J
f ltdu ( du t ... du p
268 CALCUL DBS PROBABILITES
Nous allons transformer ces deux intégrales.
On a:
Je vais prendre pour inconnues y,, y t ,..., y„, et j'y adjoindrai p — n fonctions linéaires des u tout à fait quelconques,
Udu^du^ ... du p
va se transformer en :
X\hdy K dy y ... dy„dz,dz t ... dz r -*.
À est le déterminant fonctionnel des u par rapport aux y et aux x ; comme ce sont des fonctions linéaires, A. est constant. U vient .
/Fndyjrfy, ... dy,
.dz.dz. ... di,
f ndy,dy t ... dy n dx t dz t ... dz p „
Nous avons à intégrer d'abord par rapport aux y : y, par exemple variera depuis x, jusqu'à x t -f- dx t , c'est-à-dire
très peu ; la fonction sous le signe /va rester sensiblement
constante, et l'on pourra écrire :
dx K dx % ... dx„ fFndj t dzy ... dx r - n p = 1
dx,dx t ... dœ„ f Udz,d2 3 ... dz t - K
Les différentielles des x disparaîtront.
Fn et II sont des fonctions des z, et nous intégrerons par rapport aux z de — oc a -\- oc .
VINOT-DEtTXIÈME LEÇON 269
II est le produit d'un facteur constant par une exponentielle, «— (*i"i»+*t** , +-+*j.V; l'exposant est un polynôme du second ordre et non homogène par rapport aux z, P.
6. Supposons F fonction linéaire des z. Cherchons la valeur probable de P.
Les valeurs probables des différentes quantités z s'obtiennent en cherchant les valeurs qui rendent minimum l'exposant P : soit *J la valeur de t t qui rend P minimum.
Alors :
P, est une constante, et P a est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux quantités z t — zf. L'intégrale
f(x t —xf) er*dz,dz a ... dz p n
porte snr une fonction impaire par rapport à m, — zf ; en intégrant de — oc à -f- oo , on aura zéro pour la valeur de cette intégrale.
On en déduit que, si F est égale à F„ quand on y remplace z, par zf,
J*(F — F.) (r*dz t dz t ... dz p n
est nulle, prise de — oo h -j- oo .
De même :
f{F — F )nd>,d*j... dz T „ = o;
et par suite :
fFndx,dx t ... <**„„ = F fndt,dx t ... dz f B ,
c'est-à-dire :
Ainsi on obtiendra la valeur probable de F en substituant à x t les valeurs qui rendent minimum le polynôme P.
7. Appliquons ces principes an problème que j'ai posé au début de cette leçon.
Au sujet de f \x) , nos inconnues u sont les A et nous avons :
P = VVÎ + *,A? -f - + h,At + ...
Il faut rendre ce polynôme minimum.
Les valeurs des A seront d'ailleurs arbitraires, sauf les relations linéaires données par les observations :
Écrivons que P est minimum. L'accroissement rfP devra être nul quand les A, s'accroîtront de dA, :
rfP = A A rfA + ... + A,A,rfA, + - = o.
Les accroissements dA , ..., dk h ... sont liés par :
df {a k ) = o.
Or, f[a K ) par exemple est égal à :
Donc :
dA + a t dk, + ... + a' t dk t + ... = o, dk a -\- a t dk, -j- ... -\- a' % dk, -f- ... = o,
dk^ + a„dk t + ... + a' n dk t + ... = o.
