Plaçons-nous à un autre point de vue
Une question de probabilités ne se pose que par suite de notre ignorance : il n'y aurait place que pour la certitude si nous connaissions toutes les données du problème. D'autre part, notre ignorance ne doit pas être complète, sans quoi nous ne pourrions rien évaluer. Une classification s'opérerait donc suivant le plus ou moins de profondeur de notre ignorance.
Ainsi la probabilité pour que la sixième décimale d'un
nombre dans une table de logarithmes soit égale à 6 est a
priori de — ', en réalité, toutes les données du problème sont
bien déterminées, et, si nous voulions nous en donner la peine, nous connaîtrions exactement cette probabilité. De même, dans les interpolations, dans le calcul des intégrales définies par la méthode de Cotes ou celle de Gauss, etc.
Notre ignorance est plus grande dans les problèmes de physique ; il s'agit de prévoir un événement, c'est-à-dire un phénomène conséquent qui dépend d'une part d'un phénomène antécédent, et d'autre part de la loi qui unit l'antécédent au conséquent. Il peut se faire que nous connaissions la loi, mais non le phénomène antécédent : quelle est la probabilité pour que se produise le phénomène conséquent?
Nous connaissons, par exemple, la loi du mouvement des molécules; si nous connaissions exactement leur position
initiale, nous serions capables de dire où elles seront à un moment donné ; la probabilité pour que ces molécules occupent telle position finale dépendra donc de la probabilité que nous attribuerons par convention à telle ou telle position initiale. Dans chaque cas une hypothèse particulière est nécessaire.
Ainsi, quand on cherche la proba^^ilité pour que les comètes aient des orbites elliptiques, on est obligé de faire une convention, on suppose qu'à une grande distance du soleil ces astres sont uniformément distribués dans l'espace ainsi que les directions de leurs vitesses.
Autre question analogue : les lacunes qu'offre la série des petites planètes sont elles dues au hasard? Ici encore leurs positions initiales sont inconnues, mais l'astronome connaît la loi de leur mouvement. Comment choisir dans ce cas les conventions à faire sur les positions initiales?
11 est difficile de le faire sans tomber dans l'arbitraire. Cependant, certaines hypothèses semblent tout à fait improbables : on n'admettra pas que les vitesses initiales des comètes soient telles qu'elles aient toutes la même excentricité.
D'un autre côté il peut arriver que certains résultais soient, dans une certaine mesure, indépendants de la loi admise pour relier les antécédents et les conséquents. Considérons un très grand nombre de petites planètes, dont les moyens mouvements soient tous différents : les rayons vecteurs, les longueurs, les vitesses initiales sont distribués d'une façon quelconque. Au bout d'un temps très long, ces petites planètes seront également réparties dans tous les azimuts. Il y en aura un même nombre dans des secteurs égaux.
8. Dans d'autres problèmes enfin, il peut arriver que notre ignorance soit plus grande encore, que la loi ellemême nous échappe. La définition des probabilités devient alors presque impossible. Si, par exemple, x est une fonction inconnue de t, nous ne savons pas très bien quelle probabilité il faut attribuer, au début, à a?^, pour connaître
xdt.
On se laissera souvent guider par un sentiment vague qui s'impose avec puissance, qu'on ne saurait pourtant justifier, mais sans lequel en tout cas aucune science ne serait possible. Les lois les mieux établies ne le sont que par des expériences isolées dont on a été obligé de généraliser les résultats. Quand Kepler déduisait ses lois des observations de Tycho-Brahé, on aurait pu lui objecter : « Tycho-Brahé n'a pas toujours regardé le ciel, et, pendant qu'il ne l'observait pas, la loi que vous cherchez n'a-t-elle pas changé ? »
Il aurait certainement trouvé l'objection ridicule et aurait répondu : « Cette hypothèse est bien invraisemblable. » C'eût été là faire appel à ce sentiment mal défini de la probabilité.
9. Un problème plus délicat que celui de la probabilité des effets est celui de la probabilité des causes.
Dans notre urne de tout à l'heure, nous savions qu'il y avait n boules blanches et p boules noires ; quand nous cherchions la probabilité de tirer une blanche, la cause était connue : c'était une urne avec n blanches et p noires.
Mais, problème inverse, je puis savoir qu'il y a en tout n -{-p boules sans connaître comment elles sont réparties. Je tire une noire : quelle est la probabilité pour qu'il y ait plus
de noires que de blanches? C'est une probabilité de cause. On en recherche constamment de pareilles en physique ; les lois ne nous sont connues que par leurs effets qu'on observe. Chercher à en déduire les lois qui sont des causes, c'est résoudre un problème de probabilité des causes.
10. Sans insister davantage sur le côte métaphysique des questions de probabilités, et dans le seul but de provoquer vos réflexions sur ce sujet, je vous ferai encore remarquer qu'une probabilité peut être subjective. L'on a des raisons personnelles de croire telle hypothèse plus probable que telle autre.
La probabilité peut aussi s'objectiver, en statistique par exemple: le nombre probable des personnes qui mourront dans une année est tant; cependant il s'en écartera un peu. Dans quelles limites nos prévisions seront-elles vérifiées ? Pourquoi seront-elles vérifiées ?
Il y a là quelque chose de mystérieux, d'inaccessible au mathématicien.
Quoi qu'il en soit, l'ordre que je suivrai dans l'exposé mathématique des probabilités sera celui que jai indiqué plus haut.
Je commencerai par des problèmes où les cas possibles sont en nombre limité ; puis j'étudierai, au sujet des cas en nombre très grand, le théorème de Bernouilli et ses conséquences, la probabilité des causes, les problèmes où entrent des constantes arbitraires; le nombre des cas devenant infini, j'exposerai la théorie des erreurs, branche fort importante, et j'apprendrai enfin à déterminer des lois ou des fonctions arbitraires.
1. Le calcul des probabilités repose sur deux théorèmes: le théorème des probabilités totales ; le théorème des probabilités composées.
Au sujet de deux événements A et B, on peut se poser divers problèmes de probabilité, suivant que l'un de ces événements doit se produire, ou tous les deux, ou aucun.
Ou bien A et B se produiront tous deux, hypothèse que j'appellerai AB ;
Ou bien A se produira, B ne se produira pas, hypothèse que j'appellerai AB' ;
Ou bien A ne se produira pas, B se produira, hypothèse que j'appellerai AB ;
Ou bien ni A, ni B ne se produira, hypothèse que j'appellerai A'B'.
Supposons que A B se réalise dans a cas différents » AB' » p »
Le nombre total des cas possibles est <x -\- p -{- y -\- o, que l'on suppose par convention également probables. Examinons diverses probabilités.
La probabilité pour que A se produise est
les cas favorables étant AB et AB'.
La probabilité pour que B se produise est
La probabilité pour que l'un des deux au moins se produise est
les trois premières hypothèses AB, AB' et A'B étant favorables.
La probabilité pour que les deux se produisent est
(A et B) p.
une seule hypot hère, AB étant favorable.
Nous avons encore à envisager la probabilité pour que A se produise si B s'est produit :
(A si B) p.
-hï
nous savons d'avance que B s'est produit, par suite le nombre des cas possibles se réduit, ainsi que celui des cas favorables. La probabilité pour que A se produise si B ne s'est pas produit est
(A si B') p, = ^^,
les cas possibles étant au nombre de 2 -\- ^-
La probabilité pour que B se produise si A s'est produit est
(B si A) py
La probabilité pour que B se produise si l'on sait que A ne s'est pas produit est
(BsiA') p, ^-
2. Les théorèmes annoncés se réduisent à de simples identités.
Examinons p,, p^, Pg, p^. On a :
^4 — ~ i ft l ^ l j; ~Z Jl. ., « ! R L ,, ! ?, ~ ^aPs ;
Vi+P2 = Pz+ Pi
de même
Ainsi la somme des probabilités pour que A se produise et pour que B se produise est égale à la somme des probabilités pour que l'un des deux au moins se produise et pour que tous les deux se produisent.
La probabilité pour que A et B se produisent tous deux est égale à la probabilité pour que B se produise, multipliée par la probabilité pour que A se produise quand on sait que B s'est produit.
Ou, inversement, elle est égale à la probabilité pour que A se produise, multipliée par la probabilité pour que B se produise quand on suppose que A doit se produire.
