QUESTIONS DIVERSES

qui est égale à

sff / sin{m^ + nSl)ldt-^ -, j cos{m^ + nil)t dt.

Cette expression tend vers zéro quand T grandit indéfiniment, sauf dans le cas où m<b -+- nSi est nul. Or m<l» -f- «îi peut s'annuler d'abord si ^ et £2 étant com-

mensurables entre eux, le rapport — est égal à — ^- Dans

ce cas, la trajectoire décrite par une molécule liquide est une courbe fermée, ayant pour équation

F = o, F, =:const.;

nous n'avons donc plus seulement une intégrale uniforme, mais nous en avons deux, et nous retombons sur le cas d'exception du numéro précédent.

Le coefficient m4> -i- nii peut encore s'annuler si 0 et ^ sont incommensurables et si m et n sont nuls. Soit alors 8 une fonction périodique quelconque de (o et de 9; envisageons sa valeur probable

Uit) = jpo^d(ùod<fo et l'intégrale

J-T ' U{t)dt.

Nous pouvons développer 8 en série de Fourier. A chacun des termes de cette série correspondra un terme de J. D'après ce qui précède, tous ces termes de J tendront vers zéro pour T très grand, sauf le terme où m = n ^= o, c'està-dire celui qui correspond à la valeur moyenne de 0, au terme constant de la série de Fourier.

Un raisonnement tout pareil à celui du paragraphe 239

3a8 CHAPITRE XVI.

nous montrerait que cela signifie que la probabilité représentée par l'intégrale / ^dt est uniformément répartie.

241. Il est essentiel de se rendre compte des véritables raisons de la nouvelle exception que nous venons de signaler. Considérons une des molécules de notre liquide qui occupera au temps o le point x^, y^i ^o 6^ su temps t le point a?, y, z; considérons ensuite les molécules qui au temps o remplissent une sphère de rayon g ayant pour centre le point Xo. ^o. ^eî au temps t elles rempliront un volume très petit; ce volume, si e est infiniment petit, sera, assimilable à un ellipsoïde ayant pour centre le point

Comment se comportera cet ellipsoïde quand on fera varier t1 En général, ses axes deviendront de plus en plus inégaux, de telle sorte que le rapport de ces axes tende vers l'infini. Cela est essentiel pour que le postulat soit vrai; dans le cas d'exception signalé, il n'en est pas ainsi; si nous appelons x^, yo> ^o les coordonnées initiales d'une molécule, et que nous décrivions, du point xq, /oi «o comme centre, une sphère de rayon e, cette sphère découpera sur la surface du tore une aire qu'on pourra assimiler à un cercle de rayon très petit. il}uand ^croîtra, cette aire va se déplacer sur la surface du tore en restant assimilable à une petite ellipse; mais l'aplatissement de cette ellipse, au lieu de croître sans limite, va osciller entre certaines limites, ainsi qu'iKest aisé de s'en rendre compte. Si nous considérions pour up instant to et © comme les coordonnées d'un point dans un plan, nous aurions une représentation de la surface de notre tore sur un plan; notre petite ellipse serait alors représentée sur le plan par une autre petite ellipse gui

QUKSTIONS DIVERSES. 3ag

resterait toujours égale à elle-même; si donc nous revenons il l'ellipse inflniment petite tracée sur le tore, le rapport de ses axes ne dépendra que du rayon du parallèle du tore sur lequel se trouve son centre, en d'autres termes ce sera une fonction linéaire de cos u; ce sera donc une fonction périodique du temps.

2^2. Voyons maintenant un exemple où cette exception ne se présente pas, mais en nous bornant toujours à un cas particulier. Reprenons notre tore F = o, et nos équations

dt "" ' dt~ '

mais sans que <)> et ^ soient des constantes; nous pourrons toujours disposer de la surface F = £ de façon à satisfaire à la oondition d'incompressibilité. Supposons

où a et p sont deux constantes dont le rapport est incommensurable et M une fonction périodique de <p et de co qqi ne peut ni s'annuler, ni devenir inflnie.

Nous pourrons introduire une fonction auxiliaire t telle que

rff-"^' -^-P' di-^^

d'où

= ar -H 9o,

W =r (iT -h Wfl, '~ / M'

rr est une fonction de t, et de plus une fonction périodique

de Uo et de tpo- Considérée comme fonction de t, elle est développable en série trigonoméirique de la forme

2Acos(y^ -4- A)

33o CHAPITRE XVI.

OÙ les coefficients ne sont pas entiers; c'est ce que M. £sclangon appelle une fonction quasi -périodique; on tirera de là

< = AeT-+-/(T, Wo, <Po),

/étant une fonction quasi-périodique, et ensuite (dans certains cas)

/'étant une fonction quasi-périodique de t. Si Aq dépendait de &>« et de (po, l'analyse pourrait se faire sans difficulté; mais il n'en est rien. A« qui est le terme indépendant de t,

c'est-à-dire de («> et de 9 dans le développement de tt»

ne dépend ni de a>o, ni de «po* Considérons la différence

/j(^ &>oH-e, «Po-Hm) — /i"(<, Wo, cpo),

où e et Y) sont très petits; c'est encore une fonction quasipériodique; si cette fonction reste limitée quand t varie de — 00 à -(- 00, nous retrouverons des résultats analogues à ceuK du numéro précédent, et le postulat ne sera pas vrai. Si au contraire cette fonction quasi-périodique peut croître au delà de toute limite (et j'ai montré daiîs le Bulletin astronomique^ Tome 1, qu'il y a des fonctions quasi-périodiques pour lesquelles cela arrive) le postulat est probablement vrai, mais nous rencontrerions pour l'établir toutes les difficultés qui s'attachent à la théorie des fonctions quasi-périodiques.

Il en serait encore de même si nous supposions, d'une façon plus générale,

QUESTIONS DIVERSES. 33 i

a et (3 étant des constantes, e une constante très petite, ^ et 12 des fonctions périodiques de 9 et de u. On pourrait alors intégrer par approximations successives en développant suivant les puissances de t, et l'on trouverait

9=a/-l-/ (/, w„ 9,), (0 = bt-h/i{t, Oio, 9»),

a et 6 étant des conslanles, / et /i des fonctions périodiques par rapport à oo et à 90 et quasi-périodiques par rapporta /. Seulement, ici encore, a et b ne dépendraient pas de (ùo et 90, de sorte que nous retrouverions les mêmes difficultés.

21^3. Les diftlcultés que nous avons rencontrées dans ce cas si simple montrent celles qui nous attendraient dans le cas général. Disons quelques mots seulement d'un mode de raisonnement par à peu près auquel on pourrait être tenté d'avoir recours. Divisons le volume du vase en un nombre très grand n de volumes égaux ; soient t^„ fj, '..,v^ ces volumes; soit pi la probabilité pour qu'une molécule se trouve dans le volume t^,; soient

•^1» "^ij • • • » "^n

n variables auxiliaires et considérons l'expression

Soit-^/A la probabilité pour que la molécule se trouve à l'instant t-{-r dans le volume v, en admettant qu'on sache qu'elle se trouvait à l'instant / dans le volume vj^. Si alors la loi de probabilité, à l'instant £, est représentée par l'expression P, elle sera représentée, à l'instant ^ -1- t, par l'expression PS, qui représente ce que devient P quand on

33a CHAPiTaE xvi.

lui fait subir la transformation linéaire S, c'^st-à-dire quand on y change xj^ en

A l'injstant t -\- ix elle sera représentée par PS*, et à l'instant /-h At par PS*. 11 serait aisé de démontrer que, quand h croit indéfîniment, la loi de probabilité représentée par PS* tend vers une loi de probabilité uniforme.

Mais ce raisonnement prête a une objection grave. Il n'est pas démontré que la probabilité pour qu'une molécule soit à l'instant t-\-2z dans le volume vi en admettant qu'on sache qu'elle était à l'instant t-^x dans le volume v^ reste la même si l'on ne sait pas du tout où elle était à l'instant <, ou bien si l'on sait qu'elle était à cet instant dans le volume vi par exemple.

J'ai cru devoir le citer néanmoins parce que c'est sur ce type que sont construits beaucoup de raisonnements dans la théorie cmétique des gaz, et que dans certains cas ils peuvent devenir plausibles; ainsi, quand on envisage la probabilité pour qu'une molécule gazeuse subisse une déviation donnée par un choc avec une autre molécule, celte probabilité ne sera guère affectée par les chocs antérieurs subis par la même molécule.

Une grande partie des difflcullés disparaîtrait si l'on supposait que les fonctions X, Y, Z ne sont pas entièrement données, mais qu'elles dépendent d'une fonction de t (ou même de plusieurs fonctions) dont la valeur est inconnue, et où l'on ne connaîtrait seulement que la probabilité pour que celle fonction ait une valeur comprise entre des limites, données, a et a -+- da, par exemple. On pourrait alors raisonner à peu près comme nous l'avons fait à propos du battage des cartes.

QUESTIONS DtVRRSU. 333

Prenons un exemple dans la théorie cinétique des gaz. Supposons des molécules gazeuses enfermées dans un vase en forme de parallélépipède rectangle, pouvant choquer les parois, mais ne pouvant se choquer entre elles. Si elles ont toutes la même vitesse, elles ne seront pas uniformémen t réparties dans le vase au bout d'un temps quelconque, si elles ne le sont pas au temps tz=:o. Elles le seront, au contraire, si leur vitesse varie suivant une loi de probabilité quelconque, suivant la loi de Maxwell, par exemple, et cela quelle que soft cette loi.