Le postulat doit être vrai en général; mais il est

certain qu'il comporte des cas d'exception. Si les équations

différentielles

dx dy dt

comportent une intégrale

ï^(^i J'j '8) = const., où F est une fonction uniforme, l'intégrale

Pvz= Cpdx,

étendue au volume limité par deux surfaces

F(^, y, ■«) = «» F(r, j, ir) = Z> sera une constante; si alors nous envisageons deux sem-

blables volumes v et p', définis respeclivement par les inégalités

et que nous appelions P et P' les probabilités correspon-

dantes, le rapport -5- sera une constante indépendante du

temps, et, comme d'ailleurs la valeur initiale de cette constante est arbitraire, il ne pourra tendre vers i.

Voici comment, dans ce cas, doit être modifié notre postulat. Considérons le volume limité par les deux surfaces infiniment voisines

a < F < a H- da.

Soient V(a) da ce volume, V{a)da l'intégrale j pdr cor-^ respondante.

Considérons maintenant deux volumes quelconques v' et v". Soient P' et P' les deux probabilités correspondantes. Soient V'(a)rfa le volume commun ^\{a)da et à v\ et de même V''(a) da ïe volume commun à V(a) daeX v"; on aura pour f = 00

„ fy {à)da

f\'{a)da

En d'autres ttrnnes, dans chacune des couches infiniment minces, définies par les inégalités a < F < a h- da, la probabilité sera /inalemenl répartie d'une manière uniforme, mais la « densité » de cette probabilité finale variera d'une de ces couches à l'autre.

C'est précisément celte circonstance qui se présente dans le cas des équations de Hamilton qui admettent l'équation des forces vives F — const.

QVBSTIONB DIVERSES. i'i'i

Mais ce n'est pas là la seule exception possible. Supposons que les équations n'adnaettent pas l'intégrale générale F^const., mais qu'elles admettent l'intégrale particulière Y:=o, c'est-à-dire que l'équation F = o entraîne la suivante,

^d¥ ^dF „dV ax dy dz

Alors la surface fermée F = o divisera le vase en deux régions; dans chacune de ces régions, la probabilité sera fînalement répartie d'une manière uniforme, mais la densité de cette probabilité finale ne sera pas la même dans les deux régions.

240. Autre cas d'exception. Pour bien le faire comprendre, je prends d'abord un exemple particulier. Je suppose d'abord qu'il y ait une intégrale F = const. et que la surface F = o soit un tore. Si le postulat était vrai, même avec la modification envisagée au numéro précédent, la probabilité finale devrait être uniformément répartie dans la couche infiniment mirtce comprise entre les deux surfaces F = o et F = e, où e est très petit. Pour représenter la position d'un point sur le tore F=o, nous nous servirons de deux angles; l'un 9 sera la longitude, l'autre w sera l'angle compté sur la section méridienne et qu'on pourrait appeler la latitude s'il ne variait de o» à 360", au lieu de varier de — 90° à + 90". Soient alors

dt dt

les équations différentielles du mouvement, et supposons d'abord que O et i2 soient des constantes. Nous pouvons supposer que la surface F = e a été choisie de telle sorte

que ces équations soient compatibles avec la condition d'incompressibilité (cela revient à supposer que la distance normale des deux surfaces F=:o et F = ê est en raison inverse de la distance à l'axe de révolution). Nous aurons alors

(po et cdq étant les valeurs initiales de 9 et de u; dans ces conditions la valeur probable de l'expression

sin(m(p-+- nw-h A), où m et n sont des entiers et h une constante, sera

/>oSin(m<})H-nw -f-A) cfqjo rfwo,

où/>o est une fonclion donnée et d'ailleurs arbitraire de <p, et de (t)o. Cela fait

Asin(/n$H- nÇl)t-{- Bcos(m*H- nQ.)t, où

=: I Po . 1 m 9o -+- 1 Wo -I- /* J d<De rfwo.

11 est manifeste que cette expression oscillera sans tendre vers aucune limite déterminée. Le premier postulat n'est doncpas vrai dans ce cas. Il n'en est pas dcmême du deuxième

postulat qui se rapporte à l'intégrale / Pdt. Nous avons

en effet à envisager l'expression

= / dtl I pQS\n{m<f -\- nta-h h)d<pod<ùo\