Hésolvons l'équation de lécurrouce plus i^énérale

AK9(/i-l-K)-HAK,cp(/i4-K— i)-f-...-f-A,cp(/i-Hi)-+-Ao9(«) -o,

oij les A sont des coefficients constants. C'est une équation aux différences finies, linéaire et à coefficients constants, dont l'iniégration rappelle celle deséqualionsdifrérenlielles linéaires à coefficients constants.

Supposons qu'on ait trouvé K solutions 9, (/?), ©,, («),..., cpK («)^ <^e telle sorte que

Nous aurons encore une solution en posant

<p(«) — «1 ?l(«) + '^2?2(«) -4-...+ aK9K('0-

En effet, multiplions le 1 précédent par «,, et faisons la somme des termes obtenus en faisant varier /.

^^i^K'^ii'' -^ 9)=^^q^^i9A'' -^ (]) = o.

Si 9,, 92. .. ., 9k sont linéairement indépendants, on aura ainsi la solution générale. Supposons, en effet, que ce ne soit pas la solution générale; alors

9( /< ) = «1 9, -h a, 92 -+- . . . -t- aK 9k H- 4'- Je vais choisir a,, a. «k de façon à satisfaire au sys-

■JO CHAPITRE m.

tème suivant

(p(o) = a,(p,(o) -h aîCpî(o) -h. . .+ «KfK^'^)' <f)(i) :=aicp,(i) -ha,2 3)î(i) H-. . .-»- aK'fK(i)t

cp(K — i) = ai(f,(K — i) -f- a,<pî(K — O-H. . . + ock<Pk(K — !)•

Ces K équations linéaires déternninent a,, a,, ..., cx^, à condition que leur déterminant soit différent de zéro, ce qui aura lieu quand cp,» cff^, .... <fK seront linéairement indépendants. Dans ce cas, on aura

et par suite la relation suivante

Ak4^(«+K)-4-Ak M 4' (''■■*- *^ — ')-*-•• --^-Ai 4* (" +-i)-t-Ao'|(«) = o.

Jefaisrt = o, tous les termes s'annulent sauf Ak4' (K); donc 4^ (K) est nul.

Si je fais n = i, 4* (K -1- i) est nul, ....

Donc 4* ('*) est identiquement nul, et ^{n) se réduit à a, cp, -H «2^, -!-...-+- «li^K. Ainsi, il suffit de connaître K intégrales particulières linéairement indépendantes pour connaître l'intégrale générale.

Pour trouver K intégrales linéairement indépendantes, je pose (jp (n)=:(3". Alors

Ak^«-»'4- Ak- iP"^"-' + . . . 4- Ao|3" = o

Ak|3'*+Ak--,|3''-'-+-...-4-Ao=o,

d'où K valeurs particulières de (3, et par suite K intégrales particulières.

11 se présente une exception, quand l'équation en (3 offre

l'espèranck mathématioue. 71

des racines multiples, par exemple, une racine Hotiblo, P, irr^i; en Taisant varier les coefficients d'une manière continue, il peularriver, en effet, que deux racinesdevipnnent égales. On n'a plus alors K solutions.

3« ft"

P^ et (3;' sont des solutions; Ç! p-^st une combinaison

t^i — Pî

linéaire, et, par conséquent, une solution, (^uand |î, tend vers (3j, par raison de continuité, on a encore à la limite une solution. Cette- limite s'obtient en difïérentiant, par r;ippori-

à (3, les deux termes du rapport, ce qui donne — — — ;

n (3"' ou, si l'on veut, n |3" est donc une nouvelle solution. Avec une racine triple, on aurait en outre «' j5',', etc.

30. Appliquons cette règle au problème qui nous occupe, c'est-à-dire à l'équation (1) du paragraphe 28. Faisons <jp («) = (3"; il viendra

p» — ;?(3''-'^(i— /?)(3"-^', ou

Cette équation du second degré a une racine évidente,

ô =r 1 ; l'autre est — ^- — : c'est cette valeur que nous appel- 1 — p ^

lerons désormais B. Les deux solutions P" et 1 donnent

pour la valeur générale âe cf (n)

cp{n) — a^"'i~ b.

Les conditions limites donnent les deux constantes arbitraires

72 CHAPITRE Ht.

d'où

Cette expression devient illusoire, si l'on suppose ^i = i. Quand 3=: (,/) = -; le jeu serait équitable. On cherche la vraie valeur de ©(«) par la règle de l'Hôpilal n 13"- ' — .Ç|3*-' .s — Il m

Trois cas sont à considérer :

1° (3 > I. Le jeu est avantageux à A, /? > i —

[3»— I 2° (3 = I . Le jeu est équitable, /> = i — p.

3° ^ < I . Le jeu est avantageux h B, p <: i — p,

Qs 3't

La probabilité pour que B se ruine est^^ ^« Pour avoir

la probabilité pour que A se ruine, on permute p et i — />; P se change en ^ et n en m. jOn trouve donc

l'espérance MATIlÉMATrQVE. 7*3

c'est-J»-dire