L'ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
l'on amène pile au coup suivant, il devra 2/'+' francs, et sera insolvable. Pierre ne peut donc toucher que 2" francs: son espérance mathématique devient
--1-7X2+ g x4+...-(- -~ '2P^. 2P-i — iP-h
La série devient
p-^i termes sont égaux à -, le reste a pour somme--
l'espérance mathématique est
jp -t- I I /? -f- 2 2 2 ~~ 2
Si la fortune de Paul est, par exemple, d'un milliard, on pourra faire p = 3o, et l'espérance mathématique de Pierre
Sa ^ ^ sera — = ib. On voit qu elle se réduit considérablement.
On a dit aussi que le plaisir de gagner i ooof'^ est plus grand pour celui qui n'a rien que pour le millionnaire; que le plaisir de doubler sa fortune est indépendant de cette fortune.
Le plaisir, quand on possède une fortune x, de gagner une somme h, sera mesuré par
log
On a remplacé l'espérance mathématique par l'espérance morale.
p/i étant la probabilité de réaliser un gain h, l'espérance
morale sera
^Ph^^S
ou
- lOïr \- -7 lOg h ... H -—7 log
pour le paradoxe de Sainl-Pélersbourg, Cette série est manifestement convergente.
28. Ruine d'un joueur. — Deux joueurs, dont l'un, A, .possède m francs, et l'autre, B, n francs, jouent à i""' la partie et poursuivent \q\^\i jusqu'à ce que C un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise »era une fonction de m et «, cp(/«, n), et comme la somme des fortunes, m -^r n =s, est une constante, f sera fonction de s et n, c'est-à-dire de n. Appelons <^{n) la probabilité pour que B finisse par être ruiné : nous supposerons ici (lue les conditions ne sont pas équitables.
Si A, à chaque partie, i\ la probabilité p de gagner, B a la probabilité i — p.
On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses se présentent : A va gagner et B aura (n — lY'; B gagnera et aura {n+ i)f'-.
9 («) comprendra donc la probabililé pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit/? cp(« — i), et aussi la probabilité pour que B, gagnant celte même partie, finisse également par être ruiné, soit (i — p) 9 («4- i).
(i) :p{n) =pcf{n —i) -\-{i—p)<p{n-i-i).
Cette relation de récurrence servira à déterminer 9 («)• Il faut, en outre, connaître les conditions limites.
