APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLIN

k-'H. Je vais montrer comment on peut connaître une valeur approchée de Ua, du terme maximum, de la \aleur probable de \ h \ , etc.

Le calcul de ces valeurs approchées se rattache à la /ormule de Stirling^

On a

n\ T=z I x" e-" dx = T{n.

c'est-à-dire la fonction eulérienne; cette intégrale conserve un sens quand n est positif, mais non enuer. Si l'on pose

r(n -i- \)'— n"e-'*\]irsn,

le rapport du premier membre au second tend vers l'unité quand n augmente indéfmiment.

Je ne donnerai pas la démonstration générale, mais seulement celle qui concerne n entier.

La formule de Stirling sert à calculer la factorielle d'un nombre entier

n\ zz: n" e~ "* ^27^/1 ]

c'est une formule asymptotique. L'erreur absolue que l'on commet en prenant le second membre comme valeur du

premier augmente indéfiniment avec n, mais l'erreur relative tend vers zéro.

Il en résulte que l'erreur absolue sur le logarithme de n 1 tend vers zéro.

Je puis d'abord écrire •

et je vais démontrer que F (n) tend vers une limite finie et déterminée G quand n augmente indéfiniment; de telle sorte que l'on aura alors