APPLICATIONS DIVERSES

surface est celle de la sphère entière; la probabilité est donc

sur -î-

■~ sin'i*

sin* —

Comme les étoiles sont au nombre de N, elles peuvent

lormer groupes de 2. L espérance mathématique

est

89. Considérons un système mécanique, dont les équations sont mises sous la forme de Hamilton; n variables^ J7,, a;,, . . . ,a7rt, définissent la position du système ; n variables^ Xuyif ' ■ •»/«> définissent les vitesses.

F étant une fonction donnée qui dépend des j? et des j, les équations auront la forme

d^dF dyi dY

dt dyi ' dt " dxi '

On connaît F, c'est-à-djre la loi du mouvement, mais on ne connaît pas les positions initiales.

Représentons les valeurs des variables, au temps t z^ Oy par a;,, j?,, . . . , x ^ et y,, y^, . . . , y „.

Quelle est la probabilité pour que ces variables aient certaines valeurs à un temps t donné ?

Si je me donne la loi de probabilité pour que les variables aient les valeurs initiales ci-dessus, le problème devient déterminé. Je suppose que l'on se donne cette loi dé probabilité pour les valeurs initiales.

CHAPIIKE VIIT.

90. Je suppose cette probabilité proportionnelle à k dx\ dx\ . . . dxl dy\ dy\ . . . dyl

k étant une conslanle.

On peut supposer cju'on ne sait rien sur les valeurs initiales, et qu'on sait seulement que F est compris entre F, et F,; comme F = const. est une intégrale des équations du mouvement (c'est l'intégrale des forces vives), si la valeur initiale de F est comprise entre F, et F,, F rester comprise entre F, et Fj.

L'intégiale précédente, étendue à toutes les valeurs qui satisfont à

sera égale à i.

Si cette loi de probabilité est vraie pour les valeur s initiales des variableSy elle le sera encore pour les valeurs finales.

Il suffit de démontrer que le déterminant fonctionnel des valeurs finales par rapport aux valeuis initiales est égal à l'unité.

Soientr', . . .,y' , . . . les valeuis deso:, . . . ,y, . . . au temps t' \ X, . . . , y, ... leurs valeurs au temps t. Il n'y a qu'à établir cette pioposition pour t et t' très voisins.

Soit

Je vais, pour simplifier, examiner le cas de deux variables X et de deux variables y.

dx, dF

APPLICATIONS DIVCRSKS.

et

/. = Jî

dt

dV

dr^

dx.

Le déterminant fonctionnel est

dx^ dy^

rf^F

dx^ dyt

dx\

dxj dx^

dx, dyi dn'

dx^ dyi d'-¥

dXi dx,

d'-F dxl

dy\

dVi dy, £¥ dx^ dy\

d'Y dx^ dy^

dx-, dy^

d^-¥ dy\

dx, dy.

dx, dy^

Je développe en négligeant le carré de e. Tous les éléments du déterminant sont infiniment petits du premier ordre, sauf les éléments de la diagonale.

Tous les termes seront du second ordre au moins, sauf dans

ou

dx^dyxj\ dx,dy^j\ dx^dy^

d^-¥ dx^ dy^

dx^ dy.

c'est-à-dire \, aux termes près en s'.

91. Adoptions de lois probables. — De tout ce qui précède, il résulte qu'il faut apparier un très grand soin à définir le choix de la loi de probo-bilité qu'on adopte.

La probabilité pour que .r soit rompris en're Xq et x^

l48 CHAPITRE VIII.

s'exprime par une intégrale

!p ( :r ) dx ;

cp {x) sera une fonction sur laquelle nous devrons faire des hypothèses pour connaître la loi de probabilité, mais, en général, on sera conduit à regarder <p( j?) comme continue. En général, la probabilité que a; satisfasse aune condition donnée dépendra du choix de cp; cependant, il n'en est pas toujours ainsi, et certains problèmes sont indépendants de la loi de probabilité.

Exemple. — La probabilité pour que x soit incommensurable sera toujours égale à i, quelle que soit la fonction continue 9 que l'on choisisse, et celle pour que x soit commensurable, toujours infiniment petite.

92. Second exemple. — Soit une roue divisée en un très grand nombre de parties égales, alternativement rouges et noires; imprimons-lui une rotation rapide. Lorsqu'elle s'arrêtera, une de ses divisions se trouvera en regard d'un point de repère fixe : quelle est la probabilité pour que cette division soit rouge ou noire?

Pour être complètement résolu, le problème exigerait la connaissance d'une fonction arbitraire; il dépendra de l'impulsion, de la vitesse angulaire initiale. La probabilité pour que cette vitesse soil comprise entre wo et Wj est

cp(a)) rfço,

la fonction co étant entièrement inconnue.

D'un aulre côté, la roue aura tourne d'un angle total Q. La

/APPLICATIONS bIVERSK.S. l49

probabilité pour que d soit compris entre Oq et 0^ est

Ad)de.

Nous ne savons rien non plus sur /{9). Néanmoins, la probabilité, pour que la division obtenue soit rouge, sera

toujours très voisine de -; elle est donc indépendante de/.

Je suppose que chaque division corresponde à un angle s; je divise l'axe des abscisses en parties égales à e, et, par les points de division, je mène des ordonnées jusqu'à la (encontre de la courbe

Comme les divisions changent de couleur, je couvre de hachures les aires qui correspondent aux divisions rouges, par exemple.

La probabilité cherchée sera le rapport de l'aire couverte de hachures à l'aire totale.

Fi g. i5.

Quelle que soit la forme de la courbe, quand le nombre

des divisions augmente indéfiniment, ce rapport tendra

vers -

i5o CHAPITRE vm.

Soit, en effet, A l'angle maximum dont la roue peut tourner de telle sorte que f^ < A. Supposons la fonction /(ô) continue et admetlant une dérivée. Admettons de plus que cette dérivée ne dépasse pas un certain maximum, M. Donc

Je divise A en n parties égales; soit t l'une d'elles. On a

Considérons deux divisions consécutives : la différence des deux aires es» plus petite que e (|x — fx') où fji et fx' désignent respcclivenient le maximum et le minimum de/(^) dans cet intervalle. Or (pt. — /jl') est plus petit que aMe : la différence des deux aires est plus petite que ^Me*.

Comme il y a -aires couvertes de hachures, il faut mulli-

plier par — pour avoir la différence des deux aires totales,

ce qui donne Me-« on MAe

La différence des deux aires tendra donc vers zéro avec

£ et la probabilité sera bien -•

Si on ne savait rien du tout sur 9 ou sur/, on ne pourrait rien calculer : c'est parce qu'on sait quelque chose que l'on peut entreprendre le calcul. Mais ici il nous suffit de savoir que /a uTie dérivée limitée.

93. Troisième exemple. — Considérons un grand nombre de planètes, dont les orbites soient sensiblement circulaires. Soient a le moyen mouvement de l'une de ces planètes, b sa longitude à un instant donné pris comme origine. Sa longitude /au temps l sera :

l:=zat -V- b.

API'lirATIONS DIVEKSCS. l5l

La probabiliLo pour que a ot h saijsf'assent à certaines conditions est

/ '^^u,b) dadb.

Je dis qu au Ixuii d'un temps très long les planètes seront également distribuées dans tous les signes du zodiaque.

La probabilité pour que /soit comprise entre des limites données sera donc indépendante de ï.

Cherchons la valeur prob;ible d'une fonction e'"'' : si m est dillerent de zéro, la valeur probable tendra vers zéro quand / augmentera indéfiniment. Cette valeur probable est représentée par

/ / <>""''''■*''' 9 (tf, h) dadb.

Intégrons par parties: il vient

/ ■ ^ cfdb——. -Idadb.

J iint J J uni da

Si nous supposons seulement 9 continue, les deux termes ci-dessn>; tendront vers zéro.

Je demande la valeur probable d'une fonction i)ériodique quelconque. /(/). La formule de Fourier nous donne

/(/)=:iA„, e""^

Chacun des termes de cette série aura potu- valeur probable zéro, sauf le terme constant Aj. La valeur probable de/(/) sera donc

A,:=.±.f^fU)dL

Supposons qu'on ait

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