APPLICATIONS DIVERSES
sphère égaux entre eux. Soient l,ni,n,r les paramétres d'une des rotations qui change Ja en da'. Soient X, /jl, v, p ceux d'une rotation qui amène la figure mobile dans une position telle que M soit intérieur à d(7. Soient V, fi.', v*, p' ceux d'une rotation qui amène M à l'intérieur de da'
Soient x, y les coordonnées du centre de gravité de d<j; x', v' celles du centre de gra- Vite de da .
Les paramètres X',/x', v', p' seront des fonctions linéaires de X, |ji, V, p d'une part, de /, /n, «, /■ d'autre part ; |on n'a, en effet, qu'à se reporter à la formule de composition des rotations citée plus haut. On aura d'ailleurs, comme nous l'avons vu plus haut,
rdjxdvdp f'dfx' dv' dp' J -^ ~J V •
La probabilité pour que M soit intérieur à d<j est
/ dùi j ^dff=2T:^{a:,y)da=z j -~^ — ^,
les paramètres A, /x, v, p devant satisfaire à des inégalités qui expriment que la rotation correspondante amène M à l'intérieur de d<7y et l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de ces paramètres qui satisfont à ces conditions. La probabilité pour que M soit intérieur à d<r' est
2 7t^(a:',/)</or'= r
dt'i' dv' dp'
i40 CHAPITRE VlII.
On a donc
«^(ar, y) dv = <t(a?', y' ) daf
ou, puisque da =rfa',
Tinlégrale étant étendue à toutes les valeurs de/ji', v', p' qui sont telles que la rotation X','|ji', v', p' amène M à l'intérieur de dft'\ ou, ce qui revient au même, telles que la rotation >, fx, V, p amène M à l'intérieur de df7.
83. Nous avons ainsi écrit la loi des probabilités sous une autre forme, mais c'est la même hypothèse que celle que nous avons faite, quand nous prenions pour variables X, /m, V, p. En résumé, la probabilité pour que M soit à riotérieur d'une certaine aire dv, et, en même temps, pour que MP fasse un angle co avec MA, est
^ dfs dùiy
et ^ est une constante à déterminer.
Étendons l'intégrale à tous les éléments de la sphère; l'angle w variera de o- à 3 fc, et o- de o à 4îr. L'intégrale aura pour valeur
47r*x a7rc=:8ir'<&;
mais alors la probabilité sera égale à i. Donc
«rr»
et
/d€t rfw rdx dy dta
"Si*" ®" J %v?z
est la loi des probabilités.
APFLICATIONS DIVBR8B8. l4l
84. Soient, sur )a sphère, une courbe fixe et une courbe mobile; on promet à un joueur autant de Francs qu'il y aura de points d'intersection : quel est son espérance mathématique?
Elle est proportionnelle au produit des longueurs des deux courbes.
85. Si l'on considère une figure mobile 9 et deux figures fixes ©,, 9,, la probabilité pour que 9 ait une position relative donnée par rapporta <pi est la même que la probabilité pour que (p ait la même position relative par rapport à (p,.
Autrement dit, supposons que "k, ft, v, p définissent la rotation qui amène (pi dans une position (p'; prenons comme variables nouvelles X', fx', v', p' qui définissent la rotation qui amène cpi dans cette même position cp' : nous retrouverons la même loi de probabilité et nous aurons comme plus haut
rdiidvdû rtfu'dv'dp'
La rotation X', /ji', v', p' est la résultante de deux autres, X, |x, V, p et /, m, n, /•; cette dernière, celle qui amène 9^ dans la position 91, peut être considérée comme donnée, et le calcul du déterminant fonctionnel de /jl, v, p par rapport à f//, v', p' est le même que dans la leçon précédente.
Cela posé, je ne conserverai pas les paramètres X, pi, v, p, dont la signification géométrique n'est pas simple, et nous reviendrons aux variables j;, ^ et « du paragraphe 79.
86. Soient, sur la surface sphérique, M un point de la figure mobile ayant pour coordonnées a?,/,*; et MP un arc de grand cercle appartenant à la figure mobile el faisant
CHAPITAR VIII.
un angle w avec l'arc de grand cercle MA qui passe par un point fixe A.
1" Quelle est la probabilité pour que M soit dans une aire dd, lorsque 6) varie de o à 27t?
C'est
/da dm da 87:- ~ 4tF'
2° Quelle est la probabilité pour qu'un cercle mobile de la sphère coupe un cercle fixe?
Soient P le pôle du cercle fixe, A le point où il coupe le tableau, et 6 l'angle POA.
Soient P', A', B' les données analogues pour le cercle mobile.
Soit (p l'angle POP'.
Fig. i3.
Fig. 14.
La condition nécessaire et suffisante pour l'intersection est qu'on ait à la fois
en supposant 6 > B'.
Représenions la zone BCB'C dans laquelle le pôle P' du cercle mobile doit se trouver; par projection sur le plan du tableau, les deux petits cercles qui la limitent seront figurés
APPLICATIONS DIVER8KS. ï43
par (les droites BB', CC; l'angle POB sera égal à 9 - 9', el l'angle POC a 6 -+-9'.
La probabilité cherchée sera proportionnelle à la hauteur bc de celte zone. Or,
bc = Ob-Oc = cos{d — 9') - cos(0 -+■ 9'), i>c = 2 sinôsinô'.
87. Le problème peut être plus général. Soient : i° narcs de grands cercles fixes C,, Cj, . . ., C,„ égaux entre eux et de longueur /; 2° «' arcs de grands cercles mobiles, invariablement liés les uns aux autres et de même longueur /,
Je cherche les points d'intersection des arcs mobiles avec les arcs fixes et je promets autant de francs que de points d'intersection.
L'espérance mathématique du joueur sera proportionnelle à nn'.
La probabilité pour que C, rencontre C, est la même que pour que C, rencontre C,, etc., d'après la démonstration de tout à l'heure.
Elle reste encore lu même pour que C\ rencontre d, etc.
L'espérance mathématique sera d'autant de francs que l'on peut faire de combinaisons de l'un des n premiers arcs avec l'un des «' seconds. Supposons même que ces derniers aient une longueur /' différente de / : l'espérance mathématique sera nn'll'.
Si l'on considère deux lignes brisées formées d'arcs de grands cercles, l'espérance mathématique sera encore proportionnelle à leurs longueurs, car, si l'un des éléments était double, l'espérance mathématique correspondante doublerait.
(44 CHAPITRE Vlll.
A la limite, celte conclusion sera encore vraie et, en général, l'espérance mathématique sera proportionnelle aux longueurs s et s' des courbes. Elle sera Kss'.
Cherchons K.
Supposons deux grands cercles: leur longueur commune sera au, et ils se coupent en deux points; l'espérance mathématique sera K x ^n^ et, comme elle sera égale à 2,
Pour deux petits cercles, l'espérance mathématique sera
— -• S'il y a intersection, il y aura deux points d'intersec-
tion. Or
s = 27r sind,
5' = 2 7r sinô' L^espérance sera
27rsinô X 27: sin "'
= 2 sindsind .
C'est ce que nous avons trouvé plus haut, d'une autre manière.
88. Supposons sur la sphère céleste un nombre N d'étoiles placée^ au hasard.
Promettons à un joueur un franc pour chaque couple d'étoiles tel que la distance angulaire des deux étoiles, P et P', soit plus petite que y. Quelle est son espérance mathématique ?
P' devra être à l'intérieur d'une certaine zone. La surface
de cette zone est proportionnelle ài sin*i . Pour y = tt, la
