PROBABILITÉS DES CAUSES

94. Nous allons aborder les problèmes connus sous le nom de probabilités des causes.

Les problèmes que nous avons traités rentraient dans l'énoncé suivant: étant donné que telle cause est mise en jeu, quelle est la probabilité que tel effet en résultera ?

Les problèmes inverses sont : étant donné que tel effet s'est produit, quelle est la probabilité que telle cause a été mise en jeu?

Le type de ces problèmes est celui de deux urnes dont la première contient beaucoup plus de boules blanches que l'autre : on a tiré une boule blanche, mais on ne sait pas de quelle urne; il y a plus de raisons de croire la boule sortie de la première urne que de la seconde.

Pour donner une définition, il faut faire une espèce de convention, comme au début dé toute question de probabilité.

Quand on compare le nombre des cas possibles au nombre des cas favorables, on doit avoir soin que tous les cas soient également probables. La convention qui repose sur des cas regardés comme également probables contiendra toujours un très large degré d'arbitraire.

D'un jeu de Sa cartes, on tire une carte : on sait que c est une figure; quelle est la probabilité qu'on a tiré un roi?

l54 CHAPITIIE IX.

Avant l'événement, la iirobabililé était le rapport du

nombre des rois au nombre total des cas possibles, soil ^

ou^.

Après l'événement, le nombre des cas favorables est toujours 4 ; le nombre des cas possibles est diminué, c'est celui

des figures, soil la. La probabilité est devenue — ou r*. elle

a augmenté.

95 Formule de Bayes. — Soient a causes différentes qui peuvent être mises en jeu, C,, C,, ..., C„; la probabilité pour que la cause C,, si elle est mise en jeu, produise l'événement A est/?,.

Si nous savions que C, est en jeu, nous pourrions affirmer que la probabilité de A est p,.

Il faut supposer que deux causes ne peuvent être mises en jeu simultanément.

Avant l'événement, chacune de ces causes avait une probabilité a priori que je suppose donnée : la probabilité que la cause C, soit mise en jeu étail-cj,.

L'événement A a eu lieu : quelle est la probabilité que ce suit la cause C, qui l'ait produit?

Enumérons les cas possibles et les cas favorables, et, pour fixer les idées, considérons un exemple particulier.

M urnes contiennent chacune Q boules; il y a MQ boules, soit MQ cas possibles, que je suppose également probables.

Les urnes sont réparties en catégories G,, G», ..., Gn.

Les urnes de la catégorie C, seront au nombre de gt,M; de la catégorie C2, au nombre de gTî M; ...; de la catégorie G„, au nombre deGT„M.

La probabilité a priori pour que la cause C soit en jeu

PnonVBIHTKS DF.S CAIJSK8. f55

sera

nï„M

Dans les urnes, les boules sont noires ou blanches. L'événement A est, par exenriple, la sortie d'une boule blanche. La probabilité pour tirer une boule blanche de la première catégorie sera />,.

Dans la caléjrorie C,. il y aura />,Q boules blanches; dans la catégorie C,, il y en aurayjoQ, ..., dans la catégorie C„, il y en aura PnQ-

On a tiré une boule blanche: on demande la probabilité pour que l'urne qu'on a choisie appartienne à la catégorie G,.

Le nombre des cas favorables est le nombre des boules blanches de la catégorie C,, soit nj,/j/MQ.

Le nombre total des cas possibles est celui des boules blanches

GT,/), MO -h GJ3/:>2MQ -+-....+- w„/?„MQ.

Le rapport de ces deux nombres est, par définition, la probabilité cherchée

SI,//, -t- rs^pi -+-...-+■ r^nPn