On peut dire encore
La probabilité que la cause G, ait été mise en jeu, puis que, mise en jeu, elle ait produit l'événement A, est une probabilité composée.
D'abord la cause C. doit être en jeu, et sa probabilité a priori est mr, ensuite, mise en jeu, elle donne ;» A la probabilité/),. La probabilité composée estnï,/>/.
Mais la question se pose autrement.
Il faut que l'événement se soit produit, et ensuite qu'il
l56 CHAPITRE IX.
doive être attribué à la cause d. C'est encore une probabilité composée.
La probabilité pour qu'il se produise est
CT, /?, -+- XSiPi -h . . . -+- TÏT„ /?„ ;
la probabilité {si l'on sait qu'il s'est produit) pour qu'il soit dû à la cause C< étant x, la probabilité connposée pour que l'événement se soit produit et soit dû à la cause C,sera donc
^(niiPx-hJSiPi-h. ..-t- ©„/?„), d'où
W, /),-+- Bï,/>a -h ...•+- ©„/>„ Ou bien encore, partons de la formule
(B)(AsiB) = (A)(Bsi A), démontrée au paragraphe 12. Écrivons
(C/)(AsiC,) = (A)(C/siA).
{Ci) c'est la probabilité a priori de la cause, sans savoirs! l'effet A s'est produit : c'est bt,.
(A si Ci) c'est la probabilité de l'effet, sachant que la cause Ci a agi : c'est/),.
(Ci si A) c'est la probabilité a posteriori de la cause, sachant que l'effet A s'est produit : c'est x.
La probabilité (A) est une constante, indépendante deC,.
L'égalité précédente exprime donc que (C, si A) est proportionnel au produit (C,) (A si C,); c'est-à-dire que x est proportionnel à />/ci,.
97. A l'écarté, un adversaire donne et tourne le roi; quelle est la probabilité que ce soit un grec?
PROBABILITÉS DBS CAUSES. \5'J
Soient mi la probabilité a priori pour qu'il ne soit pas grec; cd,, pour qu'il le soit. Dans le premier cas, la probabilité pour qu'il tourne le roi est ^; dans le second, elle est i .
La probabilité a posteriori qu'on a affaire à un grec est
Si l'on suppose tD2 = GT,, dans l'ignorance où l'on est de
l'honnêteté de son adversaire, cette probabilité est de -•
Elle serait donc énorme.
Fort heureusement, il est permis en général de supposer a priori.
98. Dans une urne, dont la composition est inconnue, il y a N boules; nous effectuons /x tirages, en remettant chaque fois la boule tirée, et nous ne tirons que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches?
Soit JSn la probabilité a priori pour qu'il y ait n blanches et soit pn la probabilité pour qu'on amène fx blanches.
Après les tirages, la probabilité pour que l'urne renferme n blanches est donnée par la formule, et, après la suppression du facteur ( tk- ) > commun aux deux termes de la fraction, elle est égale à
ra„nV-
99. Il faut connaître a priori cj,, gj^, ..., 5Tn, sur lesquelles on peut faire plusieurs hypothèses.
Supposons, par exemple, que toutes les compositions de l'urne sont également probables, c'est-à-dire tous les m
égaux. Chacun d'eux vaudra ^, , car il va N -h i com-
positions possibles de l'urne, en comprenant celle oi!i il n'y a aucune boule blanche. La fraction précédente se réduit à
,{*-+- 2l^ -h. . .-hlNH-
Supposons, en second lieu," que l'on ait placé successivement les N boules dans l'urne, les unes blanches et les autres noires, en laissant au sort chaque fois le soin de décider la couleur.
La probabilité qu'on mettra une blanche sera chaque
fois -> et la probabilité que, finalement, surN boules, l'urne en contiendra n blanches sera évaluée par la formule m!
p(tgm-a.^
où l'on fera
mrrIN, tx:=zn, p ■=: q ^=: —;
ce qui donne
Ainsi la probabilité aprioriwn, pour qu'il y ait/i blanches, sera proportionnelle à un coefficient du binôme, et, dans l'expression de la probabilité a posteriori pour qu'il y ait n blanches, nous n'aurons qu'à faire les rs égaux à ces divers
coefficients,
CJ,,-
nl(N-n)!
pnOHABILlTES DES CAUSES. ' î>9
400. Le résultat sera 1res tliiïéreni du précédent. Soil. N très grand;
sera un polynôme de degré fx -t- i en N, que je puis réduire
à son terme de degré le plus élevé,
La probabilité dans la première hypothèse deviendra ainsi
et, pour p = 2, par exemple, elle vaudra ^j^-
Dans la seconde hypothèse, évaluons d'abord 5j„«!^, pour la même valeur 3 de fjt.
Évaluons ensuite le dénominateur
Pour cela considérons l'expression
qui nest aulre que le développement de
Je différentie deux fois par rapport à x
Il suffit de faire x=.o pour retrouver le dénominateur que nous voulons connaître quand fj. = 2.
Ce dénominateur est donc le double du coefficient de x^
l6o CHAPITRE IX.
dans le développement de (i + e^)** suivant les puissances de x; or, en nous arrêtant aux termes en ar*,
c'est-à-dire
Le terme du degré le plus élevé en N à l'intérieur de la parenthèse est -^ x'. Le dénominateur dont nous cherchons
N* la valeur est donc approximativement le double de a'* -g-,
c'est-à-dire vaut 2''-' N^
Ainsi, dans la seconde hypothèse, la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches est
nl(N — /i)l N' 2Ϋ-»'
elle est beaucoup plus petite quedansla première hypothèse. En effet, comme on l'a vu à propos du théorème de Ber-
noulli,
n!(iN — n)! 2^^
est très petit, sauf quand n et N — n sont sensiblement égaux a ^ et y, c est-a-dire ici a -•
101. Deux joueurs d'échecs ont joué n -h m parties : le premier enagagné /»> lesecond m. Si n > m, ondoil supposer le premier plus fort.
Si une nouvelle partie s'engage, le premier aura plus de chances de la gagner.
PnODA»ILITéS DES CAUSES. l6l
Quelqu'un de bien infornné pourra se représenter par /> la probahilité pour que ce joueur gagne. Mais, pour moi qui nai jamais vu jouer cet individu, je ne connais pas />; je vais chercher à m'en faire une idée.
La probabilité pour que yp soit compris entre /?« et y», se représente par
/ Ap)dp,
où la fonction/ (/?) est inconnue.
La probabilité pour que p soit compris entre p et p ->r dp sera a priori /{p) dp; c'est elle qui correspond à zs,.
A la probabilité pi correspond
La cause considérée est en effet que la probabilité de gagner soit 7? pour le premier joueur.
La probabilité que ce premier joueur gagne n parties, p étant sa probabilité de gagnera chacune des n -^ m parties, sera
n\ ml
Quelle est la probabilité a posteriori que p est compris entre p et p -^- dpi
Ici rsipi, en remplaçant q par i — p, est égal â
La somme des m,p, sera
lôa CHAPITRE IX.
celle intégrale doit être prise de o à i, car la probabilité/» est comprise certainement entre ces limites. On fait généralement l'hypothèse
faute d'autres renseignements.
L'intégrale s'évalue alors simplement; elle devient
(n-hm)\ r'
L'on est ramené à l'intégrale eulérienne de première espèce
lî(n -\-i, m -\-i) =
Tin -j- /n-+- 2) '
les r sont ici des factorielles, et cette expression n'est autre que
Ainsi l'intégrale qui représentait la somme des ts, pt est
simplement égale à > et la probabilité a po^/erwr/
pour que p soit compris entre p e\ p -\- dp est
... (rt 4- m -+- 0! „, ^ ,
(p{p)dp=z ^-|-^^^ p''{l-p)"'dp.
102. Quelle va être la probabilité pour que ce joueur gagne la partie suivante?
Cette probabilité s'obtient facilement. La probabilité pour que p soit compris entre p e\ p -\~ dp est <p (/?) dp\ la probabilité, lorsqu'il en est ainsi, de gagner la partie suivante pour le joueur est p; en vertu de la probabilité composée, la réunion de ces deux conditions a pour probabilité />(p {p)dp.
