J. Bertrand présente les objections suivantes

La fonction <p a été prise sous la forme <f{z — ^, ), tandis qu'en réalité elle devrait être <p(«, j:,). De plus, on a fait \^{z)z=i, et l'on ne peut l'affirmer a priori.

Autre objection : La moyenne est-elle la valeur la plus probable ou la valeur probable? Ce n'est pas la même chose.

Supposons qu'une certaine grandeur a: puisse prendre

pour valeur

I, 2, , n — I ou n,

et que chacune de ces valeurs ait pour probabilité

Pi, Pli •••» Pni

de telle sorte que

La \i\eiir probable de x sera par définition

174 CHAPITKE X.

La valeur la plus probable de x sera celle qui correspond au plus grand des nombres/'.

Dans le cas du problème des erreurs, la valeur probable de z est donc représentée par le rapport

éfi avl>(a ) (p(x„ f ) <f.(a?„ z) . . . 9( x„, 2)

dz^{z) 9(a:,,z) 9(x,,z) . . . o{x„,z)

J. Bertrand dit que Gauss aurait dû chercher, non pas Ja condition pour que la moyenne soit la valeur la plus probable de z, mais la condition pour que la moyenne soit la valeur probable de z.

111. On peut chercher à s'affranchir des hypothèses que nous avons faites, à savoir que 9(0:,, z) était de la forme 9(5 — j?,) et que <|;(a) était égale à i; on peut se demander quelle forme on pouvait donner à ces deux fonctions pour que la moyenne arithmétique de j7|, o;,, . . ., x^ fût bien la valeur la plus probable de z.

En d'autres termes, cette moyenne arithmétique, comme nous l'avons déjà dit, doit rendre maximum

Quand il y a maximum, la dérivée logarithmique est nulle; c'est-à-dire que si l'on pose

on doit avoir

F(j:„z) -h F{Xt, z) -\- . . .-h¥{x^, s) -i-x = o.

LA THÉORIK DES ERREUBS ET LA MOTENNB ARITHMiTIQUB. 176

Celte égalité doit être satisfaite par la valeur de z que définit l'équation

Je vais donner à x^, x„ .... x^ des accroissements rfx,, dx^, .... dxn. Je suppose que z ne change pas et que la dernière égalité conlinue à être satisfaite; x est alors une constante, et

d¥(x,) dF(x,) cŒ{xn)^

dx^ -t- dxi -H ... -I- dx^ = 0,

Ceci ne peut avoir lieu que si

^lift) dFix^ dFix^) dxx dx^ dT,^

Donc

dx^-^'

où A' est fonction de z seulement; et

B' étant aussi fonction de z seulement. La condition à remplir devient

A'(JP, -+-a;,-f-...-Hx„) -H /i B' H- X = o,

c'est-à-dire

/i(A's-f-B')-Hx=o.

Celte relation doit être satisfaite quels que soient z e\. n; donc

c'est-à-dire que <|;(s) est constant et que

A'5-hB'=o.

Voilà ce que deviendrait l'analyse de Gauss si l'on voulait la reprendre en tenant compte de la première observation de J. Bertrand.