Je suppose qu'on ail effectué différentes mesures
d'une même grandeur : quelle est la probabilité pour que la véritable valeur soit comprise entre z et z -i- dzt
Il faut introduire une loi des erreurs. Je suppose que la véritable valeur de la grandeur à mesurer soit z\ quelle est la probabilité pour que le résultat de l'observation soit compris entre x^ el ^, -h rf.ri? Je pourrai dans tous les cas représenter cette probabilité par
Cette loi des erreurs étant admise par convenlion, quelle est la probabilité pour que z soit compris entre z e\ z^dzl
C'est un problème de probabiliîé des causes, et nous allons calculer
tn, est la probabilité a priori pour que s soit compris entre z el z -\- dz; celte probabilité sera représentée par
17*» CHAWTBE X.
(|< étant une fonction qui dépendra de ce que nous savons sur z.
Pi est la probabilité pour que, à supposer que la quantité observée soit z, les observations aient donné des résultats compris entre
J7i et Xt-hdje,, Xx et .Tf^eta;,, ..., Xn et x^-^-dx^, La probabilité respective de ces événements est
rf^, 9(a;,,z), rfx, (p(j:„3), .... dx^fix^^z).
Pi est la probabilité pour que tous ces événements se soient produits à la fois; comme ces événements sont indépendants, c'est une probabilité composée
P(= dXi dXi. . .rf/i;» <p( j?,, a) <p( J7„ z).. .9(ar„, z).
La probabilité a posteriori cherchée a pour numérateur
dz dxi dxf . .dx„ ^{z)<f{xi,z) 9(0:,, a). . .(p(x„, z).
Pour obtenir le dénominateur IviiPi, il faut intégrer cette expression par rapport à z seulement. Dans le quotient, dx^, dxt, . . ., dx^ sont des constantes qui disparaîtront, et il restera pour la probabilité
dz^{z)<fixt,z)<p(x,,z)...fp{x„,z)
dzi\){z) (f{Xu z) <f{X,, z). . .<f{Xn, z)
108. Cela ne nous apprendrait pas grand'chose si nous n'avions aucune donnée sur 9 et 4^. On a donc fait une hypothèse sur <p, et cette hypothèse a été appelée loi des erreurs.
Elle ne s'obtient pas par des déductions rigoureuses; plus d'une démonstration qu'on a voulu en donner est grossière,
LA THBOniB DBS ERREURS BT LA MOVBNNJ! ARITHUÉTIQUB. I7I
entre autres celle qui s'appuie sur l'arfirmation que la probabilité des écarts est proportionnelle aux écarts. Tout le inonde y croit cependant, me disait un jour M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathématiciens que c'est un fait expérimental.
Voici comment Gauss y est arrivé.
Lorsque nous cherchons la meilleure valeur à donnera s, nous n'avons pas d'autre ressource que de prendre la moyenne entre x,, a;,, . . ., x„, en l'absence de toute considération qui justifierait un autre choix. H faut donc que la loi des erreurs s'adapte à celle façon d'opérer. Gauss cherche quelle doit être <^ pour que la valeur ta plus probable soit la valeur moyenne.
109. Si dx est constant, la probabilité pour que z soit compris dans l'intervalle dz est
^{z)(f{x.„z)(f(xt,z)...^{x„,z)dz.
La valeur la plus probable sera celle pour laquelle celle fonction sera maximum. Supposons ce maximum atteint quand z est la moyenne.
Gauss a d'abord égalé la fonction (|/ à i, puis il a admis que 9(a;,, z) était de la forme <p(z — a:, ).
Quelle doit être alors la fonction <p pour que
soit maximum avec cette valeur de ^?
Égalons à zéro la dérivée logarithmique de l'expression précédente par rapport à -s,
f'(«~a:,) ^ t^'iz — x.i) ^ ^ (^'{z — x^) ^ (f{z — x^) <p(j — j;,)L *■■ 9(a — a?«)
IJI CHAPITRE X.
Je pose
<p ( s — JP, )
L'équation à vérifier devient
F(aî,) -^- F(^0 +•••-+- ^'(^n) = o.
Celte condition devra être réalisée toutes les fois que
a?! -I- a;, -+-... -h x„ zzz nz.
Je vais donner à or,, a:^, .... j?„ des accroissements dxi, dx^, ..,, dxni z restant constant, la somme dea ar doit rester constante et l'on doit avoir
F'(a:, ) c?x, -4- F'( j?,) rf^î-H . . . -H F'(x„) £/a?„= o, dx^ H- dx^ -I- ... -h dxn = o.
Ces deux équations doivent être identiques, d'où
c'est-à-dire que F' (a?,) est une constante que je représente
par — a.
F(j7,) = a(a — oTi) 4--6, et
log<p(z-^i) = ^ i--Hfc(z — iC,)-4-C.
Déterminons les constantes a, i>, c.
F(ir,)-j-F(a:a)-^--- + F(-2^/.)~2«(- — ^, )-+-«* = o,
j:< -h j?, -f- . , . -H x„ — «5 — — 2(z — jr,) =r o.
Comme ces deux équations doivent être identiques, on a
LA THÉORIE DKS ERREURS ET UK MOYENNE ARITUMBTIQUE. 173
et l'on peut écrire
cp(::— .r,)-- e'-e ^ ; c se détermine par la condition
£n posant
on trouve
— rt =: 2/j,
