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Rien n'oblige à supposer cette fonction égale à i . On sait, par exemple, que certaines observations, telles que les observations méridiennes, sont sujettes à une cause d'erreur particulière que l'on a appelée l'erreur décimale.

Quand on mesure une quantité, quand on effectue une lecture, on évalue le résultat jusqu'à un certain ordre d'unités, et le nombre qu'on donne est celui qui se rapproche le plus, dans cet ordre, de la grandeur qu'on veut connaître.

Or on a remarqué que chaque observateur semble affectionner certaines décimales; on exprimera analytiquement ce fait en disant que ô(a:i) est périodique, et qu'elle devient maximum pour ces décimales.

124. Quelle opinion faut-il avoir de ce postulat de Gauss? Dire qu'il est admis par tout le monde, ce n'est pas le justifier, car tout le monde n'a peut-être pas une connaissance suffisante de ce qu'est une loi des erreurs.

Si nous avions appliqué les mêmes raisonnements à «*,

la valeur adoptée pour z eût été

l86 CHAPITRE X.

On peut se trouver en présence d'une série de mesures portant sur le carré d'une grandeur inconnue, et, d'après le postulat, il faut prendre la moyenne des n quantités directement observées.

J. Bertrand donne comme exemple une aiguille qui indiquerait le carré de l'angle mesuré. Devrair-on prendre la moyenne des lectures de l'aiguille, c'est-à-dire la moyenne du carré des angles, ou la moyenne des angles eux-mêmes? Aucune de ces deux solutions ne sérail raisonnable. La mesure de cet angle comporte deux erreurs : i° l'erreur de visée, et l'erreur de visée probable serait l'erreur moyenne de l'angle; a° l'erreur de lecture, et l'erreur de lecture probable serait l'erreur nioyenne du carré de l'angle.

125. La règle de la moyenne semble donc dénuée de sens. Pourquoi cependant ne nous trompe-t-elle guère? Pourquoi est-il légitime de prendre la moyenne? C'est, au fond, parce que les erreurs sont très petites.

Si, au lieu de a, je mesure /(«), et que j'applique à /(s) le postulat de Gauss,

f(. /(^i)H-/(x,)-H...-h/(jr„) /{z) -, ,

J'aurai, puisque ^i est très voisin de s,

/(x,)=/(i)-h(^,-z)/^(5), et de même avec or,, . . ., J7„. J'en déduirai

c'est-à-dire

n z =:Jc^ -H J", -»- . . . -1- J"».

LA, THBOaiB DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMETIQUE. 187

On arrive donc au même résultat, qu'on ail mesuré directement la grandeur z ou une fonction quelconque f{z ) de cette grandeur.

Voilà, en somme, pourquoi on a le droit de prendre la moyenne.

126. D*un autre côté est-il si exact de se bornera prendre la moyenne? Ce principe est-il si incontesté?

Sur n observations, s'il arrive quen — i soient très voisines l'une de l'autre et que la n'*"" en soit très éloignée, prendra-t-on la moyenne? Le résultat serait très différent du centre de gravité des n — i premières observations, des n — I bonnes observations. Certains expérimentateurs écartent la n'*">» : il y a eu, disent-ils, accident, et cette observation est mauvaise.

Mais alors la valeur prise n'est plus la valeur moyenne : on a eu une raison de rejeter le postulat.

Quand on adopte la loi de Gauss, l'erreur probable sur la

moyenne est -=\ de sorte qu'en multipliant les observations

on devrait aboutir à une précision de plus en plus grande. Et cependant, quand on mesurera un mètre un million de millions de fois, sans vernier, on ne le connaîtra jamais à un millième de millimètre près, à i micron près.

Cela s'explique d'ailleurs : pour de très petites grandeurs observées, on ne peut répondre de rien, il n'y a pas davantage de raisons jiour que l'erreur soit comprise entre o et i micron que pour qu'elle soit comprise entre et 2 microns.

127. Dans le Chapitre XI, j'établirai encore le théorème suivant :

l88 CHAPITRE X. — LA THÉORIE DES ERREURS.

Quand on prend la moyenne, le carré de l'erreur commise est

/ .Ti -f- X, -H . . .-hXnV

Quelle que soit la loi des erreurs, Gauss démontre que la valeur probable de cette expression tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.

Cela justifie le choix de la moyenne : elle devient de plus en plus probable à mesure que n augmente, sans être la plus probable.

Mais celle manière de justifier le choix de la moyenne indépendamment de la loi des erreurs est, pour ainsi dire, une réfutation du raisonnement de Gauss exposé plus haut, puisque ce raisonnement prétend établir qu'une certaine loi très particulière est la seule qui puisse justifier l'emploi de la moyenne conformément à la pratique universelle.

Il est assez étrange que cette réfutation soit due à Gauss lui-même.