VHRBUR8 SUR LA SITUATION D UN POINT

Les erreurs commises sont ainsi représentées par

^1 et y),,

4t et Y),,

^z, et yi„.

155. On peut se demander quelle est la probabilité pour que les erreurs commises sur la première observation soient comprises entre $, et ^, 4- </$,, y), et yj, -h rf»j,.

Soit

cette probabilité; il pourrait se faire que (p dépende de a: et de^, mais je suppose qu'il n'en est rien, et que 9 dépend seulement des erreurs.

Ces erreurs peuvent être indépendantes; alors 9 serait le produit de deux autres fonctions et la probabilité serait représentée par

?(^i)?i(Tl,)e^,û^r),;

mais je suppose encore que l'erreur commise sur l'abscisse ne soit pas indépendante de l'erreur commise sur l'ordonnée.

Le raisonnement est analogue à celui de Gauss dans le cas d'une variable. On s'appuie sur le postulat suivant :

Si on a fait un certain nombre d'observations, on reporte les points observés sur un plan ; la position la plus probable est le centre de gravité de ces points supposés de masse égale.

158. A l'exemple de Gauss, nous admettrons que cette manière de voir est légitime. Quelle est la loi d'erreurs qui justifie cette hypothèse?

2^6 CliAPlTUE XII.

Cherchons la probabilité pour que les coordonnées du point soient comprises entre x el x -\- dx, y et y -\- dy.

C'est un problème de probabilité des causes, et il nous faut chercher encore

(0, est la probabilité a priori pour que les coordonnées soient comprises entre x et x -i- dx, y ely -hdy; représentons-la par

tSi=^^{x,y)dxdy.

Pi est la probabilité pour que, si la cause agit, le phénomène observé se soit produit : ici, le phénomène observé, c'est que les coordonnées sont l'une entre

Xx et Xi-}-dxi,

OCn Cl wFj ""T" CL^^^

l'autre entre

Xn et Xa+dXn,

/, et yx^dy^, y% et /î-H<K2»

yn et yn-^dy„.

Pi est le produit des probabilités relatives à chacune des observations

/'/=?($i,Tni)?(^t,'»») .-. <^{ln,f\'n) d^idn^dl^drii . . . de,„d-nn'

Soil

n = ?($i, t)t )?($»♦ in,)-. • ?(^». ^n*). Alors

IpifSt

ERREURS SVR LA SITUATION D'UN POINT. 2iy

sera

ïl'\/ dur liy dl,drtt dc,^ dr>, . . . dj,, rit),,

> n^dx djr d^i d-ni d^j rfrj, . . . d^„ dn„

l'inlégrale élunl prise par rapport à x ely; il reste n (j* djc dy

n<|i da: dy

Le dénominateur est constant et indépendant de jc et de y; la probabilité est donc proportionnelle au numérateur.

157. Quelle sera la valeur la plus favorable? celle qui rend maximum le numérateur U^. Or

n = 9 (or, — .r, y, - j) © (jr, — a;, /, — 7) . . . (p (x„ - ar, 7„ — y).

Quelles sont les valeurs de x et de y qui rendent ce produit maximum? D'après le postulat, c est la moyenne arithmétique de a;,, a:,, ..., a?„ pour x, et la moyenne arithmétique de 7,,/,, -..yyn pour/. Égalons les dérivées logarithmiques aux foncrions suivantes :

d(f dcf

di\>^ d^

dx ^y —a

La dérivée logarithmique de II^* par rapport à x, qui doit s'annuler pour le maximum est

— F($i, ^i) — F(îi. TO,)-... — F(^,„ •/j„)H-Ô = o,

d'où

F{|.. fi,)-h F(5„ fl,) 4-. . .4- F(^„, r,«) = e.

La dérivée logarithmique par rapport à y contluirailà

Fo(|„ iriO -4- Fo(?„ rjj -H . . . -h Fo(^„, fin) = ^o-

Ces deux relations devront être vérifiées toutes les fois qu'on aura

c'est-à-dire

r)i+ ri2-f . . .-t- n„=:o.

158. Il s'agit de déterminer les fonctions <p et <]/ de telle façon que les deux systèmes d'équations soient compatibles.

Différentions ces deux systèmes, en regardant x et y comme constants, et en faisant varierai, yii, £2,103,..., ^/i>y)/i* La dérivée de 9 et de 9o, dans le second membre, sera nulle, puisque 6 et Ôq ne dépendent pas de ces quantités.

J'appelle F, et F? les fonctions suivantes :

F?=F,a»tj/).

Le premier système devient

rfF, + rfFj 4- . . . -+- dFn — o, rfF»-+-rfF5-h... + </F;; = o,

et le second système est

t/rî,-t- df\i-\- . . .-+- dn„— o.

Tels sont les deux systèmes qui doivent être équivalents. Les deux premières équations doivent être une combinaison des deux dernières; nous devons avoir idenli-

ERRBtiRS SUR LA SITUATION o'VJi POmT. 'i iQ

quemeni

^F, + in\ -f . . . -f- rfF„

IdentiMons les deux membres :

(^•Hi f/r), ■ ■ ■ f/rtn ' A ne devrait dépendre que de ;, et de yî,, puisqu'il est égal a ^; Il devrait aussi ne dépendre que de l, et de y]„ puisqu'il est égal à -r-î;

Donc A et B sont des constantes : F, est une fonction linéaire de t, et de yj,.

De môme F? est une fonction linéaire de $, et de yj,. J'ajoute que, en représentant F, par

fi=A^,.H-Bri,-HC,

la constante d'intégration C est nulle.

En effet, si je remplace F„ F„ ..., F„ par leurs valeurs, j'arrive à

A(î, + £,-H.. .H-£„) -hB( -hr]t-h...+ r]„) + „C—0. Celle équation doit être satisfaite toutes les fois que

Ci-»-^î4-...-f- 4„ = o, TOt-+-T],-|-. . .-h YJ,=:o.

Donc

23o CHAPITBB XII.

et, comme 6 est indépendant de n,

If en résulte que ^ est une constante.

Pour que la théorie de Gauss soit applicable, il faut que l'on n'ait aucune idée a priori sur la valeur de la quantité cherchée.

On aurait de même

D'ailleurs B = D, car

et Ton a

drii ~ dix '

en vertu de la définition de F et de Fq. On arrive enfin à

Iog(|)=: A^f -+- 2B^,Y]i4- Ey)*-+- G,

G étant une constante que nous écrirons log H.

Le polynôme A^J -+- 2in,r), -f- EnJ doit être négatif, car une erreur infiniment grande doit avoir une probabilité nulle : représentons-le par — P.

d'où

L'intégrale

logcp = — P -i- log H ; 9 = H «-••.

doit ôlre égale k l'unité pour toutes les valeurs possibles de X et de /.

ERnKUHS sua U SITUATION v'VN POINT. a3i

159. Ce raisonnement donnerair prise aux mêmes objections que le raisonnement deGauss.

Si nous admettons la loi de Gauss en dépit de ces objections, on peut construire les courbes

P=:const.,

en plaçant l'origine au point visé, c'est-à-dire à très peu près le point moyen. Le problème est analogue à celui du tir à la cible.

Les points se répartissent conformément à la loi de Gauss généralisée.

Les courbes P = const. seront des ellipsesconcentriques ayant les mômes directions d'axes.

Considérons lune de ces ellipses : je mène par 0 plusieurs droites qui partagent le plan en secteurs, i, 2, 3, 4. Soient^, la partie intérieure à l'ellipse du premier secteur, S, la partie extérieure.

S'il y a un très grand nombre de points de chute, ils se répartiront à peu près proportionnellement à leurs probabilités. Dans St il y aura «, points, dans Si il y en aura N,. Le théorème qui résulte immédiatement de la formule est le suivant:

j^ «, /Ij /»4

Ni ""N, "NI "NT'

Dans chaque secteur, il y a le même ra.ppori entre le nombre des points intérieurs et le nombre des points ejclérieurs à l'ellipse.