MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS
161. La méthode des moindres carrés sert à déterminer des quantités w,, «j, ..., Up qu'on ne peut mesurer directement, mais dont on mesure certaines fonctions Z|, z^, ..., «n>
Pour les mesures de 2,, ^2^ •••• ^m 't observations ont donné ^r,, jr, . . ., a;„ ; on a commis des erreurs. Sur Zi l'erreur // est
Le problème ne se pose que pour n> p, car pour n =/> le système d'équations donne une solution unique ; pour * /»</>, il n'y a pas assez d'équations, et le problème est indéterminé.
Pour /t>/7, il y a trop d'équations : quelles sont alors les quantités les plus convenables à prendre pour les ut
Éliminons les /> quantités </; on est conduit à n — p équations
Ce sont les équations de condition.
2^4 CHAFITRE XIII.
On a parfois avantage à prendre" les équations de condition sous celle forme.
Parfois il est préférable d'exprimer les z en fonction des II.
Nous traiterons un exemple avec lune et l'autre méthode : le premier relatif aux planètes, le second à un problème de triangulation.
162. La première partie de la méthode des moindres carrés, que nous abordons immédiatement, est de déterminer les valeurs les plus convenables des u. Dans une deuxième partie, nous nous occuperons de l'erreur commise.
La cause inconnue est que les quantités u soient comprises entre certaines limites; les quantités observées xi sont elles-mêmes comprises entre certaines limites. Appliquons une fois de plus la formule
IpiWj'
GJ, est la probabilité a priori pour que la cause ait été mise en jeu, c'est-à-dire ici pour que les quantités u soient comprises entre WiCt ui-h dui, u^ et u^ + du^, .... w,, et Uf,-\-dup. Cette probabilité peut se représenter par
4'(«,, «j, . . ., Up)dutdi/j . . du p.
t\i aura des formes variées suivant l'idée qu'on se loia a priori des quantités u : il y a la un 1res grand degré d'ar bilrairc-
pi est la probabilité pour que x, soit comprise entre x,- et r, -i- djCif en supposant que les u aient eu les valeurs que nous leur avons attribuées; jj, i„ ..., z^ étant données en
U^.THODK Dl!8 MOINDHES CAKRÉB. '2^5
fonctions des u, la probabilité de l'erreur commise sur chacune d'elles sera respectivement
9n{yn) dy„ = <fiTn— Z„)dx„.
La probabilité />, que nous cherchons est celle pour laquelle toutes ces circonstances se produisent à la fois ; c'est une probabilité composée :
/>/ = ?i(yi)?t(jî)--- ?«(/«)^7. ûC/f- df„.
J'abrège un peu l'écriture en posant
t/«, dui . . . dup-=^ d'ù, et d'autre part
9i(7.)?«(^0--- 9«(/«) = n, dy , dy^ . . . dVn ^= dx^ dx^ . . . dx„ = rfw'.
/>,Gi/= II v}/ ddi d(i)' p,ts, ïï^ d(3id(>i'
Alors
et
^pi^i
Cn-\>d(,:dr^'
Comme on n'intégre que par rapport à rfw, d(o' disparaît.
Telle est la probabilité qu'il s'agit de connaître, à savoir la probabilité a posteriori pour que u, soit conipris entre a, et Ui,->rdui. Cette probabilité, puisque le dénominateur est consiant, est proportionnelle à U, Fonction des u, et à (j* dtù qui repiésente la probabilité a priori et qui est aussi fonction des u.
163. Pour obtenir la valeur la plus probable des quantités u, il faut chercher le maximum de U'\id(Mi.
L'hypolhèse la plus simple sur vp est tj' = ' : reste à déterminer le maximum de II.
L'hypolhèse la plus simple sur les <p est que les erreurs suivent la loi de (îauss.
<f,(y,) = \^^-^e '^"yl.
Alors
n = Ce-<*->î+*»y5-^--^*-yi'.
Il sera maximum quand la parenthèse, c'est-à-dire
sera minimum.
C'est une fonction connue des u : les quantités A,, ht, ...,h„ représentent les poids des observations, et ce qu'il faut rendre minimum, c'est la somme des carrés des erreurs commises, chaque carré étant multiplié par le poids de l'observation correspondante.
16^. On arriverait au même résultat sans admettre la loi de Gauss, pourvu que l'on suppose les erreurs accidentelles petites et les erreurs systématiques nulles.
En effet, supposons les quantités y très petites : quelle que soit la forme attribuée aux Tonctions ç>, nous serons amenés à quelque chose d'analogue. Il s'agit de rendre maximum le produit des 9,.
Je suppose (fi paire, et je développe par la formule de Taylor log©/ changé de signe.
— loga),(^,) =a, +A,^Î -»-c, v* -4-...,
log ?/.(r«) —On-^ b„y\ 4- C;./*
MBTHODB DES MOINDRBB CARRES. ^ij
La somme des logarithmes changés de signe doit être minimum, c'est-à-dire
loi-i- 1 b,yf -i- 1 ayt •+-....
Je diflTérentie par rapport à u/c :
Comme les y/ sont supposés très petits, on peut en négliger les puissances supérieures, et tout se passe comme si nous avions à rendre minimum Ibty}. En admettant donc que la loi de Gauss ne soit pas vraie, la véritable loi n'en sera pas très différente dans l'intervalle utile.
De deux choses l'une, ou bien les observations sont sensi* blement concordantes, et, comme nous venons de le voir, la méthode des moindres carrés sera applicable; ou bien, elles ne sont pas sensiblement concordantes, et dans ce cas les observations ne vaudront rien et il n'y aura rien à en tirer.
1615. Nous ne saurions cependant nous contenter du raisonnement qui précède, car ce que nous voulons obtenir, c'est la \Si\eur probable des u (et non la plus probable),
La probabilité pour que a> soit compris entre j? et x + dx étant <f(x)da', la valeur la plus probable de x est celle qui rend maximum q>{x)dx.
La valeur probable de x est / xf{x)dx.
La valeur probable de u étant Uo, la valeur probable de la Fonction 2,
ne sera pas ul.
Mais si les z sont /onctions linéaires des 1/, les valeurs
238 CHAPITAB Xilt.
probables des z correspondent aux valeurs probables des w,
5, = A/1 M, -f- A,sttj + . . .-\- A,f,Up-\- B,.
CUdd) représente la probabilité pour que la i""" quantité Ui soit comprise entre ui et Ut 4- dit,. Soit ul la valeur probable de u^,
La valeur probable de -»,, soit «", sera
^? = / CH(A/iM,+ A.,i«,-+-. . .-h KipUp-in B,) </w ou
zJ = A., fcnutd(ù-^Aiifcttuid(ù+...
-hA,p rcnupdu> ■+■ B, fcUdtà,
et comme / Cn«ia) est ia valeur probable de l'unité, c'està-dire I,
z? nz A,, Wj -+- A,2 «2 H- . . . -H \ip uj-+- B/.
166. Je vais supposer d'une part 4* constant ; d'autre part que la loi des erreurs est celle de Gauss; enfin que les z sont liées aux u par des relations linéaires.
Je vais établir que la valeur probable des u est celle qui est donnée par la méthode des moindres carrés.
Le produit pixsi atteint son maximum quand la fonction P
est minimum.
Soient u\y u\y ..., aj les valeurs des u qui rendent cettt
MKTIIO06 DES MOINDRES CARHE8. 2^2
expression minimum. Ces valeurs seronlaussi, comme nous allons le voir, les valeurs probables des u. On a
La valeur probable de u^ est
iic/co /n«*^-
Il d(ù jn dùi
Il faul démontrer que
/ U u^dtfi
fnd(o
c'esl-à-dire On a
U{ut-ul)d(o = o.
yi — ^i — ^l'î
Xi est connu, z, esl du premier degré par rapporl aux u : P est donc un poijaome du second degré par rapporl aux u. P atteint son minimum quand
Cela veut dire que
P, étant un polynôme homogène et du second degré par rapport à («, — «•), (mj — aj),..., (a* — aj), ...; et Po étant la valeur de ce minimum.
Nous avons à démontrer que
C<r-''oe-»'>(a*-«2)rfw =o»
Mo CHAPITRE XIII.
Ce-^>e-^* est une fonction paire des quantités «/ — i«?; ujk — Uk est une fonction impaire. Comme l'intégrale est prise (le — » à -+-«, elle est bien nulle.
Ainsi ces valeurs des u sont non seulement les valeurs les plus probables, mais les valeurs probables.
