En général, en est-il ainsi

Si les opérations sont sensiblement concordantes, les erreurs sont petites, et tout se passera comme avec la loi de Gauss.

Quelle que soit la forme des fonctions F, si le champ de la varialion des u est très restreint, nous pourrons regarder les s comme linéaires.

Pour cette môme raison, c est-à-dire si le champ où peuvent varier les u est très restreint, la fonction ^, qui était d'abord si arbitraire, peut être regardée comme constante.

C'est grâce à cet ensemble de circonstances que la méthode des moindres carrés peut élre considérée comme applicable, toutes les fois que les observations sont sensiblement concordantes et dénuées d'erreurs systématiques.

168. Ceci posé, voyons comment les calculs doivent être dirigés.

Nous connaissons les fonctions z des u : ceux-ci sont au nombre de p^ et un nombre d'observations n, plus grand que p, nous a donné pour 2,, 2,, ..., z^ les valeurs

•^i» ^ti • • • > ^if

11 y a plus d'équations que d'inconnues ; cherchons la meilleure manière d*y satisfaire d'une façon approchée.

Une première approximation donnera «i, 1/,, . . . , w^ Supposons qu elle soit assez bonne pour qu'on puisse négliger le carré de l'erreur commise: soit/», celle première approxi-

METHODE DES MOINDRES CARRES. 'i4 <

mation pour ui :

ut—bi-\-vi.

Si nous développons les Zi suivant les puissances croissantes des «'/, d'après la formule de Taylor, et en négligeant les carrés des r„

Zi— Art Vi 4- Art p, -t- ... 4- kip Vp+^i'y

on aura de la sorte n équations qui sont devenues linéaires. 11 faut rendre minimum

Écrivons que les p dérivées par rapport aux p quantités ('i> ^t» •••> Vp sont nulles :

1hi{Zi~-Xi)-^ z=z o.

Or

dzi .

il reste

2A/A/*(rf — x,)=o.

169. Nous sommes donc conduits à la règle suivante: J'écris les équations ci-dessous qui ne sont qu'approchées :

«I— B, — A,, f, -H A,s t', -h. . . -+- A,;,^'p Xj— Bs= Aî,t', -I- A,,rj-i-. . .-\- kipVp

^n — B« = A», ('i + Aflj ^', -H . . . -+- knp Vp

AjAj,,

Non seulement ces équations sont approchées, mais elles ont incompatibles puisque n^p.

Je multiplie les deux membres de la première par A, A.., ; ceux de la seconde par A, A,,; ... ceux de la n'^""' par ^„A«, et j'ajoute les résultats membre à membre. V. 16

^4% CHAPITRC Xllf.

J'obtiens ainsi une première équation linéaire en x el </; je me suis servi des coefficienla

où j'ai fait A: = i. Si je fais k égal suceessiventent à 2, ...,/, j'obtiendrai les nouvelles suites de coefOcients

et par conséquent /> équations linéaires pour les p. La résolution de ce système répond au problème.