Celle mélhode a élé crillquée par J. Bertrand

En effet, si on l'avaii appliquée à une auire combinaison, par exemple ly'^, on en aurait déduit une valeur de m qui n'eût pas été la même. La naélhode peut devenir suspecte.

C'est un problème de probabilité des causes, et nous appliquerons les règles de ce calcul.

On demande la probabilité a posteriori pour que h soit compris entre certaines limites.

Celte probabilité est

Tpjmi

Wi est la probabilité a priori de la cause, c'est-à-dire pour que h soit compris entre h et h -hdh; pi est la probabilité pour que, si la cause a agi, les observations aient donné des résultats respectivement compris entre Xj elor, -h dlr,, X| et .r, H- dxf, ..., :r„ et :cn-»-rf^„.

Cherchons la valeur probable d'une fonction de h, /{h); cette valeur probable est

l/{h)p/tSi

Ah) =

IpitSi

Faisons de suite la remarque que le résultat va dépendre de la probabilité a priori; le résultat de Gauss ne peut donc déjà être tout à fait exact.

Si je détermine h par

cette valeur probable de h dépendra de la fonction /.

Si je cherche la valeur la plus probable, ce sera la même chose.

On peut se trrer d'affaire à une condition : c'est que le nombre n soit très grand. Le facteur nr, n'a plus grande influence; ainsi, pour

toutes les méthodes conduisent au même résultat, si toutefois le nombre des observations est très grand.

199. Lorsqu'on observe une quantité z, et que les observations ont donné a?,> x„ ..., ^„, on peut représenter bj, et />/par

/)/= n dxi da:^ . . . dx,^,

La probabilité a posteriori pour que h soit compris entre A et A -+- dhy et z entre a et ^ -H rf«, est

n 4'(/^ z) dhdz dxx dXi . . . dx^

ïi^{h, z)dhdzdXi dx^ • . . dx^

Les différentielles dxi, dx,, ..., dx^ disparaissent dansée rapport, et il faut intégrer par rapport à A de o à -f- oo et par rapport à s de — » à 4- oo.

Imaginons que, au lieu d'une quantité z, il y en ait n, «,» zj, ..., 2^, qui dépendent de p variables 1/., u,, .... Vp, et que les valeurs observées des z soient or,, X}, . . ., x„ ; les erreurs commises sont /t, /ï, . . -, yn-

fSt sera la probabilité a priori de la. cause : ici, pour que h soit compris entre h et h -\- dh, et pour que m, soit com-

CALCUL DE L'tnnBL'R A CRAINDRE. 278

pris entre u, et «, -+- c/u,, u, entre «, el a,-f- ^«j, . ..,

©,= 4'(^> "'> "i> • ••» «p) dhdu^ dut . . . </f/p.

/>< sera la probabilité de l'eiïet en supposant que lu cause ail agi

pi= n dxf dx^ . . . dx„, où

La probabilité a posteriori sera

n»j;(A, i/|, «j, ...» «p) dhdux du^ . . . dupdxidx^ . . . dx^ I îi^{h, «1, «t, . . . , tt|,) dh dui dut . . . dup dx^ dx^ . . . dx„

Il faut intégrer par rapport à A de o à -+- oo, el par rapport aux u de — oo à -h» ; quant aux différentielles des or, elles disparaissent comme précédemment.

La probabilité cherchée s'écrit donc

n^* d/i dui dui . . . dup

Hf\> dh du^ dUi . . . dUp

200. Elle dépend de la fonction ^ qui est entièrement arbitraire, et qui est soumise à l'idée que nous nous faisons a priori de la valeur des u et de l'exactitude que nous attribuons a priori aux observations ; mais 4* ne joue pas le plus grand rôle si les observations sont nombreuses.

Je vais appliquer à cette fonction ^ une forme particulière, en supposant qu'elle ne dépend pas de h.

On justifie celte manière de voir en disant que les mesures donneront en général aux u des valeurs très voisines les unes des autres ; qu'elles sont comprises dans un petit inter- P. »8

valle où la valeur de z variera peu si les observations sont concordantes.

La valeur probable de h'* sera

h" dhdiiydUi . . . dup

I lï'V dh dui du^ . . . dUp

Ces deux intégrales doivent être calculées de la même manière : h y varie de o à -H oo e( les u de — <» à -+- oo .

201. Qu'est-ce que 2/'? C'est une fonction de J?,.qui est connu, ei de z, qui est une fonction des u.

Par la méthode des moindres carrés, on obtient comme valeur à adopter pour u, la valeur «^ : les valeurs des u ainsi définies ne sont pas exactes, mais elles sont les plus convenables à adopter^

I', étant très petit.

Les j, sont des fonctions des v,-, et on peut les considérer comme des fonctions linéaires des Vi, en négligeant les carrés.

Le polynôme

sera du second degré par rapport aux v„ mais non homogène; il atteint son minimum quand les <\ sont nuls. \.es équations

dp

doivom cii v satisfaites quand les i', sont nuls.

CALCUL DF. l'erreur A CRAINDRE. '^75

Donc H ne renferme que des termes du second degré et du degré zéro; il n'y a pas de termes du premier degré.

P = Po-+-P,.

Po est le minimum de 2/*, ce qu'on a appelé 2/'», dont la valeur probable est (n — />)m^ Donc Po est très grand en général, et il y a d'autant plus de chances qu'il soit grand, qu'il y a plus d'observations.

Po=(«-/o)A,

A étant une constante.

Le polynôme P, est obtenu en additionnant entre eux les termes, du second degré ; il y a un très grand nombre de carrés, il y en a n, et les coefficients du polynôme P, sont du même ordre de grandeur que n.

Q étant de l'ordre de grandeur de A.

La valeur probable de h" sera

/jv : L^ ;

f^ (-V e-*"— P"*^"' dh dvi dv^... d^p

on intègre par rapport à /i de o à -h », et par rapport aux

f de — 00 à -4- oc .