Je dis qu'on a identiquement
En effet
/, = eA,-H£'B,.
2///, — «2A/r/-t-e'2B/v,= £f* + «y, 1X« =«iA,/,-h«'iB,-:)^;. = e^ + e>'.
CALCUL DB L'BRRBUK A CRAINDRB. 267
Autre identité
i^« = Ii'>H-I(7-/)«.
En effet, en développant 1{^ —y'y,
ce qui est bien une identité, ])uisque en vertu de la précédente identité
ly'*—ilyy'-hly'*=o.
194. Cherchons la valeur probable ly' . C'est une forme quadratique par rapport aux y.
On multiplie m* par la somme des coefficients des termes carrés, ou, autrement, on considère l'équation en S.
Soient F et F' deux formes quadratiques par rapport à n variables; si S est une constante,
F-SF'
sera encore une forme quadratique par rapport aux n variables.
En écrivant que le discriminant est nul, on obtient une équation d'ordre n en S, dite équation en S.
La propriété de cette équation est de ne pas changer quand on fait un changement linéaire de variables : c'est une équation invariante
Supposons maintenant que nous nous proposions de calculer la valeur probable d'une forme quadratique ; je prends ¥'=: ly*. Écrivons que le discriminant de
F-Sly'est nul.
La somme des racines de cette équation est la somme des
coefficients des carrés.
^68 Soit
F = Ajî -4- \'y\ -h A%-; -H 2Bj,7, + 2B>3y. -I- 2B'/,/j. Le discriminant donne
ou
La somme des racines est bien A -f- A' -+- A' ; d'autre part, la valeur probable de y\ étant m* et celle de /,/? étante, celle de F sera
Comme règle, on forme donc F — Si y*, on prend la somme des racines de l'équation en S et on multiplie par m*.
195. Appliquons ceci à la forme quadratique iy*. Soit la forme
our d'après le paragraphe 193,
Formons l'équation en S ei cherchons la somme des racines.
Les quantités/' s^expr{ment linéaii'emeni en fonction de n - p d'entre elles; 2/'* se décompose donc en une somme de n —p carrés, et l'on a, les \ étant des fonctions linéaires des j,
Les j —/ s'expriment en fonction de /? d'entre elles e»
CALCUL VE l. KHIIBUR A CKAINORB. "iA^
l'on a, les y) élanl des fondions linéaires des 7,
LesVt fonctions linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes. Remarquons en effet qu'on a
Le premier membre est une somme de n carrés
^|» yif • • • » ^n »
le discriminant de la forme du premier membre est 1. Le second membre ne peut avoir pour discriminant o. On a ainsi
* = (i-S)2f'-S2rj».
Le discriminant est
n — p racines sont égales à i , et /> égales à o, la somme des racines est n — p.
La valeur probable de 2y' est nm}\ d'après la règle exposée plus haut, la valeur probable de 2/' sera
Donc
par différence.
Ainsi : i' la valeur probable de la somme des carrés des erreurs commises est nm}; 2° la valeur probable de la somme des carrés des corrections faites est ( n — /? ) m' ; 3° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs après conecllons esipm^.
%yO CHAPITRB xtr.
196. La valeur probable de 2/ est plus petite que la valeur probable de ly*.
C'était aisé à prévoir.
Nous cherchons à déterminer tes corrections de façon que la somme des carrés des corrections soit minimum : c'est le principe même de la méthode des moindres carrés.
A mesure que les observations augmentent, &i nous considérons l'erreur commise sur one observation, nous allons démontrer qu'elle tend vers zéro.
Supposonsque les observations augmentent constamment; le nombre/? demeure constant, ainsi qiie/om-; le nombre des termes Vu en augmentant: il y a des chances pour que chaque terme diminue oonslamment.
Si nous considérons la plus petite des quantités (/;t— v*)*»
elle sera certainement inférieure à •
Observons une même quantité n fois; une seule variable indépendante : p=:\.
Nous avons n termes; n observations faites dans les mêmes conditions; donc
197. Jusqu'à présent, nous avons supposé que la précision était connue, mais que les observations n'étaient pas faites.
Le problème se pose autrement; on ne sait rien sur la précision, mais les observations sont faites.
Nous voulons en conclure la valeur de h ou celle de m^
Voici la solution.
Les/ ne sont pas connues; les >' le sont par la méthode des moindres carrés. 2/" est connu.
CALCOL DR L BKlIBSn A CRAINDRB. 271
J'égale sa valeur à la valeur probable calculée a priori
iy*=r{n-p)m\ d'où m*.
