CHAPITRE V

DÉMONSTIIATIONS tl.fiMENTAIRES Dl THÉORÈME DE HKIINOI 1,1.1.

7(i. Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable difTére de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues. — 77. Application à une série de parties faites à un même jeu de hasard. — 78. Cas où le jeu est équitable, les énoncés se trouvent en défaut. — 79. Épreuves successives de deux événements contraires. — 80. Troisième démonstration du théorème de Bernoulli (jG-io^i

CIIAPITHI-: M.

LA lUI.NE DES JO LEURS.

81. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu équitable, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas.

— 82. Lorsque deux joueurs luttent indéfiniment, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit finir par se ruiner. — 83. Calcul numérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre possédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur probable du nombre des parties est infinie. II n'y a pas contradiction. — 88. Démonstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — 92. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. .\utre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et exposent la même mise. — 95. Probabilité pour qu'un joueur qui joue indéfiniment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avantage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisément après un nombre donné de coups. — 99. Valeur approchée de la probabilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au jx'*"" coup.

— 101. Valeur maxima de la probabilité. — 102. Valeur maxima de la valeur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 104. Cas où le jeu n'est pas équitable. Théorème de M. Bouché. — 105. Évidence apparente du théorème.

— 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Béduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en

I\ TMJLK DKS MATUUKS.

rages, coinnicnrant le jeu. — t09. Cas où deux joueurs lultanl l'un conlre l'autre peuvent l'un el l'autre ùtre ruinés. Insuffisance d'un raisonnement qui •semble fort simple. — llU. Cas où Pierre el Paul possèdent chacun y''. — 111. Cas où ils possèdent 3''. — 112. Cas général. — 11.3. l-'xamen d'une l'ombinaison proposée pour accroître les chances de gain io'|-i (i

CIIMMTRK \11.

riUlllAltlLllÉ DKS CALSKS.

114. Ce ijue, dans le Calcul des probabilités, on entend par le mol cause. — 115. Énoncé du problème à résoudre. Formule qui en donne la solution.— 116. Autre démonstration de la formule. — 117. Problème relatif à la composition inconnue dune urne. — 118, IID. Autre manière de comprendre renonce. — \'10. Problème plus général. — 121. Loi approchée des probabilités. — l'2'2. Autre manière de préciser l'énoncé. — \'i'.]. A|)plications incorrectes des résultats précédents. — 124. Discussion d'une expérience de Buffon. — 12 j. Discussion de la méthode d'appioximalion adoptée. — r2(j. Cas extrême où la conclusion du raisonnement souvent accepté serait évidemment sans valeur. — l'27. Uégularilé des naissances masculines et féminines. — l'28. Quelle est la régularité dont on serait en droit de s'étonner? — 129. Exemple cité par Buffon. — 130. Exemple cite par Laplace. — 131. Les conditions d'un problème doivent être définies avec détail. — 132, 133. Quelques exemples. — 13i. Application faite par .Mitchel à la théorie des étoiles doubles. — 135. Probabilité des événements futurs. — 136, 137. Applications ridicules de la formule à la probabilité du lever du Soleil i '12

cii.\riTui-: vin.

1,01 DES ERUKUIIS UOBSEHVATlUN.

138. Poslulatuin de Gauss. — 139. .\utre hypothèse faite implicitement. — 140. Cas dans lequel le postulatum est rigoureusement exact. — 141. Conséquence des suppositions acceptées. — 142. Comparaison du résultat avec une formule connue; accord apparent, mais non réel. — 143. Autres contradictions résultant de la loi admise. — 144. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures. — 145. L'obscr.ation confirme la règle de Gauss, les erreurs constantes étant écartées. — 140. Méthode de vérification. — 147. Bésultats de Bradley discutés par Bessel. — 148. Détermination du paramètre /. ; diverses formules. — 1 'i9. Vérifications possibles.

— 150. Valeur probable du carré de l'erreur commise en adoptant la première formule. — 151. Valeur probable pour la seconde. — 152. Comparaison des deux résultats. — 153. Les formules peuvent être remplacées par d'autres qui sont préférables. — 15i. Autre modification accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres méthodes pour calculer /.-. — 150. Groupement des observations deux par deux; valeur probable de la plus grande erreur. — 157. Autre démonstration du résultat.

— 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erreurs considé-

TAULK DKS MATIÈRES. LV

Pages.

rées deux à deux. — lô9. Groupement des erreurs trois par trois. — Distinction nécessaire entre l'erreur véritable et l'erreur présumée. — 160. Cas plus général. - ICI. Discussion de la démonstration précédente. - 16'2. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. — 163. Ce qu'on entend par poids et par précision. — 104. Si la loi de probabilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. — 165. Kst-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes par leur diffcrcnce avec la moyenne? — 16(j. Valeur probable de la plus petite des erreurs commises. 167. Combinaison d'observations qui n'inspirent pas égale confiance. — 108. Partage d'une grandeur en plusieurs parties mesurées séparément. — 109. Évaluation donnée par Fourier en Egypte. — 170, 171, 172, 173, 174. Discussion relative à la détermination de la constante k déduite d'un système d'observations i-j5-225