CHAPITRE I

ÉNUMÉR.VTION DES CHANCES.

Un Cilime la prubabililé d'un événement par le nuaibre des cas favorables dUisc par le nombre des cas possibles. La dillicuUe ne coasisto que dans I énuuéralion des cas.

Laurance.

1. Définition de la probabilité. L'égalité des chances est supposée dans la définition. — 2. Exemple d'une énumcration incorrecte. — 3. Autre exemple. — 4. Le nombre des cas ne doit pas être infini. Contradiction résultant de l'oubli de cette condition. — 5. Second exemple. — 6. Troisième exemple. — 7. Quatrième exemple. — 8, 9, 10, 11, 12, 13. Solution de quelques problèmes par l'énumération des chances. — 14. Prétendu paradoxe du chevalier de Méré. — 15. Combien faut-il tenter de coups pour obtenir une probabilité donnée de produire au moins une fois un événement dont la probabilité est connue? — IG. Problème du jeu de rencontre. — 17. Problème relatif aux tirages de boules numérotées sans les remettre après chaque tirage. — 18. Problème relatif au dépouillement d'un scrutin de ballottage. — 19. Une urne contient des boules numérotées, quelle est la probabilité pour que sur n tirages la somme de> points tirés ait une valeur donnée. — 20. Application au cas de trois dés.

1. La probabilité d'un événement est estimée par l'énuméralion des cas favorables, rapprochée de celle des cas possibles.

On parie, en jetant un dé, qu'il montrera le point 4- Le dé a six faces : six cas sont possibles, un seul est favorable. La probabilité est \. C'est une définition.

CVLCLL nf:S I'UOBABILITKS.

On jcllc deux ilcs ; le» si\ points du piomler, en s'associanl aux six du second, |)euvenl lormer irenle-six combinaisons : la prol»al)ilitC' d'anienir une d\'nlro elles, double deux par exemple, o^t ^.

La probabilité d'anjener .> el \ esl ^,r : chacun des dés pouvant donner 3 lorsque lautre donne \, il \ a deux combinaisons favorables '.\ et /{, 4 t*' 3 ; on leur donne le même nom, 3 el 4» niais elles sont récllemenl distinctes.

La probabilité f/'i/n é\énemciU est le rapporl du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles. Une condition est sous-entendue : tous les cas doivent être également possibles., La définition, sans cette restriction, n'aurait aucun sens. 11 peut se faire cpie Tévénement arrive, il se peut aussi qu'il n'arrive pas^ ce sont deux cas possibles, un seul esl favorable. Toulc probabilité serait donc -!• L'erreur est grossière. D'Alemberl a élevé Tobjeclion el refusé de passer outre.

Avant de compter les chances, il faut constater qu'elles ont même vraisemblance.

2. Trois colfrets sont d'apparence identique. Chacun a deux tiroirs, chaque tiroir renferme une médaille. Les médailles du premier collret sont en or; celles du deuxième coffret, en argent; le troisième coffret contient une médaille d'or el une médaille d'argent.

On choisit un cofïrel ; quelle esl la probabilité pour trouver, dans ses tiroirs, une pièce d'or et une pièce d'argent?

Trois cas sont possibles el le sont également puisque les trois coffrets sont d'apparence identique.

Ln cas seulement est favorable. La probabilité est \.

Le coffret est choisi. On ouvre un tiroir. Quelle que soit la médaille qu'on v trouve, deux cas seulement restent possibles. Le tiroir qui reste fermé pourra contenir une médaille dont le métal diffère ou non de celui de la j)remière. Sur ces deux cas, un seul est favorable au colfrct dont les pièces sont différentes. La probabilité d'avoir mis la main sur ce coffret est donc ^,.

cn\p. I. — i;>L'Mi:i;\Tio.\ ni:s f;iiA.\CES. o

Commcnl rruire, ccpcndanl, (ju il suffira d'oiiMii' un liroir pour (•hanp;cr la probaljililé et de ^ l'élever à ^?

f^c raisonnemenl ne peul cire juste. Il ne Test j)as en eflet.

Après l'ouverture du premier liroir deux cas restent possibles. Sur ces deu\ cas, un seul est favorable, cela est vrai, mais les deux cas n'ont pas même vraisemblance.

Si la pit'ce qii on a vue est en or, l'autre peut être en arj^cnt, mais ou aurait avantage à parier pour qu'elle soit en or.

Supposons, pour en faire paraître l'évidence, qu'au lieu de trois coffrets on en ait trois cents. Cent contiennent deux médailles d'or, cent deux médailles d'argent et cent une médaille d'or et une médaille d'argent. Dans chaque coffret on ouvre un tiroir, on voit par conséquent trois cents médailles. Cent d'entre elles sont en or et cent en argent, cela est certain ; les cent autres sont douteuses, elles appartiennent aux coffrets dont les pièces no sont pas pareilles : le hasard en réglera le nombre.

On doit s'attendre, en ouvrant les trois cents tiroirs, à v \oir moins de deux cents pièces d'or : la probabilité pour que la première qui se présente appartienne à l'un des cent coffrets dont l'autre pièce est en or est donc plus grande que ^.

3. Supposons, pour second exemple, que Pierre et Paul jouent aux boules; celui qui placera la boule la plus rapprochée du but gagnera. Ils sont également habiles ; mais Pierre a deux boules à jeter, Paul n'en a qu'une. (Quelle est la probabilité pour que Pierre gagne?

Sur trois boules jetées par des joueurs également habiles, Pierre en a deux. La probabilité de gagner est pour lui ~.

Ne pourrait-on pas dire cependant :

Chacune des boules de Pierre peut être meilleure ou moins bonne que la boule de Paul; quatre cas sont donc possibles. Sur les quatre, un seul fait perdre Pierre, celui où ses deux boules sont l'une et l'autre moins bonnes que celle de Paul, les trois autres cas lui sont favorables. La probabilité de gagner, pour Pierre, est r.

4 CALCIL DES l'IlOBABlLlTÉS.

L'éaumcralion est exacte, mais les eas n'ont pas même vraisemblance.

]*aul a de bons el de mauvais eouj)s. Si la boule (ju'il a lancée remporte sur- la première boule de Pierre, il esl à croire, sans rien savoir de plus, cpielle n'est pas parmi les mau\aiscs. La chance pour qu'elle soit moins bonne que la seconde boule de Pieri'C esl diminuée. Parmi les quatre cas possible, ceux dans lesquels Pierre \aincu dans un coup est vainqueur dans l'autre sont moins vraisemblables que ccu\ dans lesquels ses deux boules ont le même sort.

•4. Une remarque encore est nécessaire : l'inlini n'est pas un nombre; on ne doit pas, sans explication, l'introduire dans les raisonnements. La précision illusoire des mots pourrait faire naître des contradictions. Choisir au hasard, entre un nombre infini de cas possibles, n'est pas une indication suffisante.

On demande, par exemple, la probabilité pour qu'un nombre, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, choisi au hasard entre o et loo, soit plus grand que 5o. La réponse semble évidente : le nombre des cas favorables est la moitié de celui des cas possibles. La probabilité est ^.

Au lieu du nombre, cependant, on peut choisir son carré. Si le nombre est compris entre 5o el loo, le carré le sera entre 2000 et 10000.

La probabilité pour qu'un nombre choisi au hasard entre o et 10 000 surpasse 25oo semble évidente : le nombre des cas favorables est les trois quarts du nombre des cas possibles. La probabilité est |.

Les deux problèmes sont identiques. D'où vient la diflerence des réponses? Les énoncés manquent de précision.

Les contradictions de ce genre peuvent être multijiliées à linfini.

5. On trace au hasard une corde dans un cercle. (Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le coté du triangle équilatéral inscrit?