CII.VP. IV. — TIIÉOUKAIE DE JACQUES BERNOULLI. C

Les liragcs au sort, si l'urne est composée pour cela, seront d'accord, en ino\enne, avec la statistique. C'est une vérité identique.

Mais de l'égaillé des moyennes peut-on conclure celle des chances d'écait ? Ce serait admettre ce qui est en question.

Substituons aux hommes d'une même ville les moutons d'un même troupeau et faisons la statistique de l'abattoir; un marché fait pour un grand nombre d'années règle le nombre des victimes, la régularité est parfaite. On peut composer l'urne dans laquelle on tirera avec certitude, pour un nombre suffisant d'épreuves, un nombre moyen de boules noires égal à celui des moutons sacrifiés chaque jour.

L'assimilation n'ira pas plus loin. Le nombre des boules noires variera d'un jour à l'autre ; le nombre des moutons sera invariable.

On fait une expérience sur les dés. On les introduit dans un cornet, on agite, on les lance et on note le coup. L'épreuve répétée 20U00 fois confirme les prévisions théoriques. Tous les cas se produisent proportionnellement à leurs probabilités. L'expérimentateur se fatigue; une seule chose importe après tout, c'est de mettre le hasard à l'épreuve. 11 dicte les points sans jeter les dés, il s'interdit le choix, le hasard parle par sa bouche.

Obtiendra-t-il les mêmes résultats? Aura-t-11 i ooo doublets environ sur 6000 épreuves? Le nombre des points impairs seral-il peu différent de celui des points pairs? Il serait téméraire de l'affirmer. L'improvisateur des coups de dés peut se dire : il y a longtemps que je n'ai appelé le double six, l'impartialité veut qu'il ait son tour. Le sort n'a pas de tels scrupules, et il pourra arriver qu'une trop grande conformité aux proportions prévues trahisse l'intervention d'une cause perturbatrice.

Si l'on jette deux dés 6000 fois de suite, le nombre le plus probable des doublets est 1000, l'écart probable est

0,4709^ I / — ^ ^ 19,4700 et 1 écart moyen -yz y/aooo = 23,0329.

Si, en faisant 1 000 séries de 6000 coups, tous les écarts sont inférieurs à 20; si lu valeur moyenne des écarts, au lieu d'être 23,

t)4 CALCUL 1")ES VnOBAlJILlTI-.S.

est inféiieureà lo, on pourrait afllrmer avec une cerliludc presque infaillilile roxislcnco irunc cause n'i^ulalrice corrij;eanl les ('-caris ilii hasard.

75. Lorsque la probabililé d'un événement est varialilr d'une épreuve à l'autre, le théorème de Bcrnoulli n'est plus applicable.

La ij'énéralisalion proposée par Poisson sous le nom de loi des L;rands nombres manque non seulement de rigueur, mais de précision. Les conditions supposées dans l'énoncé échappent j)ar le vaque à toute appréciation mathématique. On peut, dans un cas simple et digne d'intérêt, appliquer le théorème de BernouUi, malgré la variation des chances pendant les épreuves.

Supposons une urne contenant un nombre A de boules blanches ou noires, la probabilité d'en extraire une boule blanche est p, celle d'extraire une boule noire est q.

On fait -j. tirages sans remettre dans l'urne les boules qui en sortent. Si ). et a sont de grands nombres, il est très probable que le rapport du nombre des boules blanches sorties à celui des

boules noires dillérera peu de -• En ne remettant pas les boules,

on change à chaque épreuve la probabililé de choisir une boule blanche; mais ce changement est, en quelque sorte, un régulateur de la proportion prévue par le théorème de Bernoulli. Quand la proportion d'une des couleurs est inférieure à ce raj)port norjnal, la probabilité pour elle augmente et les épreuves suivantes ont plus de chance pour corriger l'irrégularité.

On jieut préciser celte indication.

Soient ). le nombre total des boules, Kp celui des boules blanches, t.q celui des boules noires. La probabilité de tirer sur |j. éj)reuves ').p — I: boules blanches cl ;-».</ — li boules noires est. comme on le voit aisément,

I . V. 3. . .Ip . I . 7. . 3 . . . À 7 . 1 . 2 . 3 . . . ( X — ;i. ) '^ i.2.3...[^X — ii)q-i-A] i.2.3...À.i.2.3...[(X — ijl;/) — XJ

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