xp i .i.'i . . .[xq
C'est le produit par v.pq du terme maximum, c'est-à-dire, d'après la valeur approchée (57) de ce terme,
\xpq si \X])q
\/ï\x-pq \Ji-
II faut doubler ce résultat, puisque nous n'avons pris que les valeurs positives de :; : il s'accorde avec l'expression obtenue (63).
63. Nous pouvons donc accepter avec confiance l'expression (9) pour la probabilité d'un écart égal à z.
La probabilité pour que z soit inférieur à une limite donnée a. c'est-à-dire pour qu'il soit compris entre — a et 4- a, sera
-.pq
ou, en posant " = t^ v/2 \xpq
(i4) X3a,= ~ l e-''df.
84 C.VLCII. PKS l'UOIiADILlTLS.
Celte probabilité s'obtiendra dans cliaquc cas particulier à l'aicK- (le la Table des valeurs de la foiiclion
que l'on trouvera à la i\n du Volume.
0(/), on peut le voir à rinspeclion de la Table, lend rapidement vers runité; ou a
66. On peut, sans consulter la Table des valeurs de la fonction B, déduire de la formule (9) d'importantes conséquences.
L'écart zéro est le plus probable. Il a cependant une probabilité infiniment petite lorsque le nombre des épreuves devient infini.
La formidc qui représente la probabilité d'un écart inférieur à a s'annule pour a = o. Il faut remarquer qu'en substituant une variable continue à l'écart, qui nécessairement est entier, nous devons, pour représenter l'écart nul, prendre tout linlcrvalle entre a = o et a = 1 . Nous n'avons plus alors une probabilité rig;oureusement nulle, qui devrait dijuinuer la confiance inspirée par la formule.
Si l'on assigne à a une valeur déterminée, quelque grande qu'elle soit, la probabilité pour qu'il ne la dépasse pas tend vers zéro lorsque [j. augmente sans limite.
On peut regarder comme certain, par conséquent, (jue, le nombre des épreuves croissant indéfiniment, Vécart croîtra sans limite. La probabilité pour qu'il reste au-dessous d'une limite donnée est infiniment petite.
Ce résultat fixe le sens du beau théorème de Bernoulli; l'écarl relatif est de plus en plus petit, l'écart absolu de plus en plus grand.
07. La certitude, quand les épreuves se multiplient, de voir l'écart absolu grandir sans limite peut se démontrer (/ priori, indépendamment de toute formule.
Le résultat le plus probable de \x épreuves successives est l'arri-
ciiAP. IV. — Tm^;oiu:ME de jacql'ks nER>'OULLi. 8j
vée 'xp fois (le l'cvéncnienl doiil la prohahilitc' cst/^. Celle prol)al)ililé iiiaximnni, qtioicjuc plus grande (pic toules les aiilres, leiid vers icvo ; elle est (o7) proporlionnelle à —=•
Les aulres, qui sont plus pclites, tendent a fortiori vers z(îro; et, si l'on en prend un nombre désigné, quel qu'il soit, leur somme ne peut nuuKpier de tendre vers zéro lorsque, ce nombre restant lixe, y. augmente indéfiniment.
G8. Il faut insister, en donnant un exemple, sur cette distinction entre l'écart absolu, qui doit grandir, et l'écart relatif, qui tend vers zéro.
On joue à pile ou face. Combien doit-on faire d'épreuves pour que la probabilité d'obtenir pile ou face, sans préciser lequel, un million de fois au moins de plus que l'autre surpasse 0,01?
Il faut déterminer ij. par l'équation
^ / e-^'clt= 0,99.
On trouve dans la Table de la fonction Q{l)
Nous poserons donc
-zr- = 1,83;
on en déduit
tjL = 59721 r millions.
69. La probabilité ttî^ d'un écart plus petit que a est, en général,
il dépend du rapport -— et tend rapidement vers l'unité quand ce rapport auo'mente. Si l'écart relatif- reste constant, -—z = i u. -
86 CAI.CIL DF.S rU01!AIUI.lTl':S.
auj^mcnlera sans linnlc <■! l:i prohiilnliU- d'im écart ihuiikIic que* a se rapprocliora de la eerLiludc.
(>lierchons, parexemple, le nombre cl épreuves (pi il iaul leiilei' à la roiilelle pour avoir ()() à parier contre i de voir le zéro sortir phis (lime fois sur (piaianlc en inovcMine. Le noinltre de st»rlies le plus probable est une sur Ircnle-sejil ] si le /.vvo sorl moins d'une lois sur rpinranle, l'écart est négalil Ct |)Ius i;rand (|ue
Nous avons
La probabilité dun écart plus i^rand que a, si Ton pose
est donc o,o>; le signe étant donné, elle est 0,01. Nous poserons donc
En prenant
on trouvera
ix = :54848.
Quelque petit que soit l'écart relatif assigné, on pourra faire nu nombre d'épreuves assez grand pour rendre la j>robabilité de ne pas l'atteindre aussi grande que l'on voudra.
7(K Deux écarts remarquables ont reçu des noms qu'il faut connaître. Dn a
CHAP. IV. — TIIKOKÈMK DE JACQUES BER.NOLLLI. «Sj
L'écarl '/ (N'Hiu y,iv r('([iialit)n
.» donc proljahililù c'-yalc dV-lro ou de ne pas cire surpassé. Cet écart
se nomme Vécart probable sur [j. épreuves.
L'écart moyen est la valeur probable de l'écarl; il a poui valeur (6i)
Le rapport de l'écart probable à l'écart moyen est o,8463. Ils sont l'un cl l'autre proportionnels à la racine carrée du nombre des épreuves.
71. On représente souvent le nombre d'arrivées de l'éve'nement dont la probabilité est/>, sur ;jl épreuves successives, par
En assignant à o une valeur numérique donnée, la probabilité pour que le nombre d'arrivées soit compris entre les limites indiquées par celte formule est un nombre fixe, indépendant de ;-t, de j) et de q.
Dans une série ([uelconque d'épreuves, il y a un à parier contre un de voir le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est/? compris dans les limites
\i.p--o,érM\/i-v-pq\ neuf à parier contre un qu'il sera dans les limites
)j.p rh I , i63 v/ '-« ;^/"/»
cl mille à parier contre un qu'il ne sortira pas des limites ^p ib 2,3 '-7 y/ '- ]^p<l-
72. La lonmilo (i4> permet do définir avec précision ce qu'on doil entendre piw Joitcf />/its ou moins r>ros Jeu.
Pierre joue looo parties, rcnjeii csl i*^'; Paul en joue loo, mais l'enjeu est lo*^'.
Tous deux peuvent perdre looo*^"". Ils courent les mêmes liscjues, mais n'y sont pas également exposés. Supposons un jeu équitable; la probabilité de gagner est />, celle de j^erdre est q. La mise de Pierre est a, celle de son adversaire est 0, et l'on a
pb — g a.
Si Pierre gagne [j./> -h // parties, il en perdra 'xq — // ; son bénéfice sera
( [xp ~- h)b - { \xq — h) a =^ Il {a — b).
Il est proportionnel à li.
La probabilité pour que la somme perdue ou gagnée soit inférieure à /< (a -r ^) = S est donc
Vivian
e-t'-dt =e
{a-r b)\/i \xpq
La situation faite aux joueurs parles conditions du jeu et par le nombre des parties est déterminée par le produit (a -f- 6) sj^-pq-
Pierre expose i o*^^ par partie et joue 20000 parties, avec chance égale de gagner ou de perdre.
Paul expose également lo*^', mais sa chance de gain est j^r seulement; il doit, en cas de gain, recevoir Sao'*". Combien Paul doit-il faire de parties, à ce jeu équitable, pour courir les mêmes risques que Pierre?
Le nombre 'x des parties est donné par l'équation
La situation de Paul, qui joue 5^1 parties, serait exactement la même que celle de Pierre qui enjoué r>.oooo, si les formules
CHVP. IV. — THKOnEME DE J VCQUKS BEUNOULLI. 0()
étaient rigoureuses; elles ne sont qu'approchées. Il ne faudrait pas les applif|nrr à de petits nombres.
73. Supposons que, dans un pavs qui compte lo millions d'électeurs, on en désigne 20 000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En suj)posant que le pavs soilj)arlagé entre deux opinions, 4 5oo 000 d'un côté et 5 àoo 000 de l'autre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité.
Le problème est identique à celui-ci :
La probabilité d'un événement est o,45, celle de l'événement contraire 0,55; on fait entre eux 20000 épreuves, quelle est la probabilit('' pour que l'écart dépasse 1000 en faveur de l'événement le moins probable.
La combinaison la plus probable donnerait à la minorité gooo électeurs sur 20000. Pour que le hasard la transforme en majorité, il fiait un écart supérieur à 1000, dont la probabilité s'évaluera en divisant par 2 l'indication fournie par la formule (i f), qui se rapporte à un écart inférieur à y. dans un sens ou dans l'autre.
La probabilité pour avoir un écart supérieur à 1000 est
I — e ( ) =1 — erioi.
(■)fio ) diffère tellement peu de l'unité que l'événement peut être regardé comme absolument impossible. La probabilité de gagner deux quines de suite à la loterie serait beaucoup plus grande.
L'expérience semble démentir la théorie. Les minorités sont représentées, et, sans qu'il y ait aucune relation entre leur nombre dans le pays et celui de leurs élus, celui-là est loin d'être nul.
Le calcul précédent suppose, en effet, que, tous les électeurs étant inscrits sur une seule liste, on y prenne 20000 noms au hasard pour composer le collège électoral. Il n'en est pas ainsi; les électeurs d'un même département, d'un même arrondissement quelquefois ou d'une même ville ayant des intérêts communs, ne
()o CAi.ri L DIS iMvon\i!iLiïi:s.
pouviinl nia!i(|ii('r do subir les nicincs inlliionccs, ne sont nullement assimilables à un groujje de votants désignés indépemlainmenl les uns des autres sur le pajs tout entier.
7i. Lorsque la prol)abililé diiii événement est connue, on peut prédire avec |Mesque certitude la valeur approchée du nombre d'arrivées de cet événement sur un nombre connu d'épreuves.
Il laiit (('piiulanl (aire d iiuporlanles réserves.
Le théorème reste vrai quand la probabilité de l'événement csl inconnue. Le rapport du nombre des arrivées de révéuement au nombre total des épreuves s'approchera certainement de cette probabilité inconnue, si l'on augmente sans cesse le nombre des épreuves. Si, par exemple, on puise dans une urne conlenant des boules blanches et des boules noires, en remcllant après chaque tirage la boule qui est sortie, le rapport du nombre de boules blanches sorties au nombre des tirages convergera vers la probabilité assignée j^ar la composition de l'urne.
Mais deux conditions sont nécessaires : la probabilité ne doit pas changer pendant les épreuves, et elle doit avoir une valeur déterminée.
Un événement incertain n'a-l-il pas toujours une probabilité déterminée connue ou inconnue?
Il faut se garder de le croire.
Quelle est la probabilité pour qu il pleuve demain?
Elle n'existe pas.
Non pas parce qu'elle varie d'un jour à l'autre avec l'état du ciel et la direction des vents ; mais parce que dans aucune circonstance elle n'a de valeur objective, la même pour tous ceux qui l'évaluent sans se tromper.
Il pleuvra ou il ne pleuvra pas, l'un des deux événements est certain, dès à présent , et l'autre impossible. Les forces physiques dont dépend la pluie sont aussi bien déterminées, soumises à des lois aussi précises que celles qui dirigent les planètes.
Oserait-on demander la probabilité pour qu'il y ait éclipse df lune le mois jtrochain ?
Cn.Vl'. IV. — TUKOUEME DE JACQUES BERÏVOL'LLI . Ql
Un Iioiiinic csL àgc de quarante ans, quelle est lu jxohahiliti'pour qu'il vive clans dix ans?
iNi l'événement cette fois, ni l'événement contiairc n ont, dès à présent, certitude égale à celle d'une éclipse, mais la probabilité n'a j)as davantage, pour cela, de valeur objective, indépendante des renseignements connus et du bon jugement de celui <pii en fait usage.
Le roi de Siam a quarante ans, <pielle est la probabilité pour (piM vive dans dix ans? Elle est autre pour nous que pour ceux «pii oui interrogé son médecin, autre pour le médecin que pour ceux qui ont reçu ses confidences ; très différente enfin pour des conjurés qui prendraient leurs mesures pour l'étrangler le lendemain.
Toutes ces probabilités sont subjectives, il n'en existe pas d'objective. L'esprit se refuse à concevoir une urne contenant des boules blanches et des boules noires que l'on puisse composer chaque matin de telle sorte que la chance de vie pendant la journée puisse être remplacée, pour un individu désigné, par le tirage d'une boule dans cette urne.
Les cas précédents ne peuvent être pris pour exemples de l'application du théorème de Bernoulli. Que le roi de Siam meure ou vive, il est impossible de renouveler l'épreuve.
Il faut considérer, au lieu d'un événement isolé, une classe d'événements définis tous ensemble sans distinction. La réponse alors est moins évidente.
Quelle est la probabilité pour qu'il pleuve dix fois à Paris pendant le mois de janvier? On ne dit pas de quelle année.
Pour qu'un habitant de Paris âgé de quarante ans vive encore dans dix ans? On ne désigne pas l'habitant.
Ces deux questions, semblables en apparence à celles qui ont été posées d'abord, en sont réellement très différentes. Nous réunissons en effet, sans distinguer entre eux, tous les jours du mois de janvier de toutes les années et tous les hommes âgés de quarante ans, au lieu de désigner im seul jour et de s'occuper d'un seul homme.
Supposons que les progrès de la Science permettent la prédic-
qa CALCUL DES rnoBvniLiTÉs.
lion des jours de pluie avec une certitude égale à celle des éclipses. Le Tahloau dressé à l'avance soustrairait le problème à la théorie du hasard, mais pour l'v faire rentrer s'il s'agit d'un jour indétermint' du mois de janvier choisi ihiiis iiiic année inch'-lcrminée.
L'assimlhuion à une urne (h'vient jtossdih' ;dors. Le noiid)rc des houles est le nombre des journées de janvier jxMulant un grand nombre de siècles; celui des boules blanches, |(> nomhic des jours de pluie.
Lue dilîerence subsiste. Dans les épreuves relatives aux jours de pluie, on ne peut ni agiter les boides ni les remettre dans Turne. En termes jilus clairs, l'événemenl observé un jour n'est pas sans inllucnce sur celui du jour suivant.
S'il s'agit des chances de mort ]M)ur un h'raneais âgé de cpiarante ans, la question est moins évidente encore. On ne peut plus supposer le Tableau des événements dressé à l'avance avec certitude ni accepter, a priori, l'assimilation avec les tirages dans une urne.
11 n'est pas permis d'affirmer la régularil»' de la piopcirlion des décès dans une grande ville ou même dans un grand pavs.
Cette régularité est révélée par la statistique; elle est très remarquable, mais nullement nécessaire.
Le rapport du nombre des décès à celui des survi\ants est, pour un âge donné, à peu près invariable.
Le rapport du nombre des naissances masculines à celui des naissances féminines est constant à très peu près, à toutes les époques et dans tous les pavs.
Il serait impossible de le démontrer a priori.
Le nombre d'hectolitres de blé récoltés dans un déparlement varie d'une année à l'autre.
Pourquoi celui des naissances est-il in\arial)le?
On ne saurait en dire la raison.
La constance des rapports, quand elle est constatée, donnet-elle le droit d'assimiler les chances de décès et celles des naissances pour l'un et l'autre sexe à des tirages faits dans une urne de composition invariable?
La conséquence n'est nullement permise.
