I.F.S I.OfS lU' 11\S\I!I

trouver {rnpiJroIjaLeiirs, Los appréciations sans ehillres n'engagent à rien, un chilTrc engage la Science, et c'est sans aucun droil.

L'api^lication du calcul aux (|ueslions de ce genre est une illusion et un abus.

« Les motifs de croire c|ue, sur lo millions de boules blanches mêlées à i noire, ce ne sera pas la noire que je tirerai du premier coup est de même nature, a écrit Condorcet, que le motif de croire que le Soleil ne mancjuera pas de se lever demain. » L'assimilation n'est pas permise : l'une des probabilités est objective, l'autre subjective. La probabilité de tirer la boule noire du premier coup est f„„,l„„„^,, ni plus ni moins. Quiconque l'évalue autrement se trompe. La probabilité pour c[ue le Soleil se lève varie d'un esprit à 1 antre. Un philosophe peut, sans être fou, annoncer sur la foi d'une fausse science que le Soleil va bientôt s'éteindre ; il est dans son droit comme Condorcet dans le sien ; tous deux l'excéderaient en accusant d'erreur ceux qui pensent autrement. L'assimilation à une urne est le procédé de démonstration. Une urne contient des boules blanches, peutêtre aussi des noires; on v fait i million de tirages, tous donnent des boules blanches ; quelle est la probabilité pour qu'un nouveau tirage amène une noire ? Le calcul répond : ,„„^',^^„. « On a vu, conclut Condorcet, i million de fois le Soleil se lever du côté de l'orient, cjuelle est la probabilité pour cju'il manque demain ? La c{uestion n'est-elle pas la même? » Elle est différente. L'urne, dans le premier cas, est invariable; qui peut, dans le second, savoir le train des choses?

Paul, sur la foi de Condorcet, veut parier que le Soleil se lèvera demain. La théorie hxera les enjeux. Paul recevra i*^"^ si le Soleil se lève et donnera i million s'il fait défaut. Pierre accepte le pari. Au lever de chaque aurore, il peid i*^' et le

rKi.KAor..

n;i\('. La chance jxnir lui dimiiiiic cha(nu^ ]*""'• l>ii'S([iic le Soleil coin|)lo un \v\cv de plus. Paul conscicncicusemeiil auïï^mente sdii enjeu : conseienciiMisenienl aussi, Piei're continue à lui paver i''. l.cs, convenlions denieurenl équilables. Les parieurs vovai^jenl, on parcourt viui^t contrées, de roccidenl à l'orient, Pierre perd toujours; il poursuit sa chance cejXMidant, conduit Paul vers le nord ; on franchit le cercle polaire ; le Soleil reste un mois au-dessous de l'horizon ; Paul pc^'d 3o niillions, ci'Oit l'ordre de natiu'c perverti et soupçonne (pie l'urne est chauffée.

Tarquin l'ancien, rebelle aux prétentions de l'augure Accius Nîevius, osa, dit-on, le mettre au défi. Ce que je pense est-il possible? demanda le roi. L'auijnre accepta l'épreuve. « Tu peux donc couper cette pierre ?» Na-vius prit un rasoir et coupa le caillou. Avec une très louable impartialité, Condorcet a clierché la chance de vérité. Le point tic départ de son calcul est le nombre des cailloux que, depuis l'invention des rasoirs, on n'a pas réussi à couper, et, sans répondre du détail des chiffres, il évalue à ,„,)',„(,„ la probabilité de l'anecdote. Il est un peu naïf. Un caillou que l'on coupe comme un radis est un caillou miraculeux ou un faux caillou. La saine philosophie dont il se vante repousse tout miracle ; l'accord fait sous main entre Nœvius et le roi sauverait la v raisemblance. Pour résoudre le problème, au lieu de comj)ter des cailloux, il faut comparer, si on le connaît, le nombre des princes capables d'imposture à celui des aui^ures complaisants et des historiens sans critique.

Le hasard, à tout jeu, corrige ses caprices. Les irrégularités même f)nt leur loi.

Su})posons (ju'à un jeu de pur hasard une série de parties ait été jouée. Précisons, pour plus de clarté : le jeu est pile ou face ; la série de loo parties. Pour chaeiuie, on marque

LKs LOIS m iiASAiii). xxr

la (lidérencc cnlre le nombre des i»ains el le nomhic iioriiial jo. Si l'on a gagné 44 tni 5() fois, on marque (i dans les deux cas. Chaque série, de cette manière, se trouve caractérisée par un nondjre que nous a])|)<dloroiis V écart ; supposons ol)tenus 1 million d'écarts. Le hasard décide leur grandeur, comme si l'on puisait i million de fois dans un sac contenant des houles de lolo. I.a différence est grande cependant : landis que toutes les houles sortiront également, ou [)eu s'en faut, les petits écarts seront les plus nombreux. Chacun se présentera, à la longue, un nombre de fois proportionnel à la prohabilité que l'on peut calculer; la régularité des résultats peut recevoir une forme apparente et visible. Marquez sur une ligne droite, à distances égales et petites, les chiffres o, r , 2, 3, ... représentant les écarts possibles. Par chacun de ces points élevons une hauteur égale au nombre de fois (pie l'écart s'est produit ; les extrémités de ces lignes feront paraître une courbe, toujours de même forme ; le sommet correspond au point o ; l'abaissement, à partir de ce point, très lenl d'abord, s'accroît suivant une loi prévue par le calcul. Si quelques irrégularités déparent le dessin, doublez, décuplez le nombre des épreuves, l'exactitude des prédictions est à peine croyable.

Les grands nombres régularisent tout. La moyenne de tous les écarts peut être j)rédite avec confiance : elle sera 4 si la série est de 100 épreuves, l\o si elle est de 10 000. La même certitude s'attache à la moyenne des carrés des écarts, à celle de leurs cubes, de leur quatrième puissance. Pour des séries de 100, par exemple, la moyenne des carrés est 25. Ces prédictions sont sûres. TN 'est-ce pas, pour ainsi parler, miracle de voir un hasard aveugle dicter des résultats exactement prévus ?

Aidée de ces théorèmes singuliers, la dextérité des géo-

l'RKKACF..

mètres a su, clioso nior\ oilloiiso, renconlror sur ces voies (léloiirnées une sohilion de la qnadralure du cercle. Si, dans une série d'épreuves sulïisamnienl nombreuses, on divise la movenne des carrés des écarts par le carré de la movenne, le quotient est. à très peu près, la moitié <lr la surface du cercle <le ravon unité. \vec de la patience, le succès est certain.

Beaucoup de joueurs, |)i(M)((uj)és de cette régularité nécessaire dans les movennes, cherchent, dans les coups qui précèdent celui qu'ils vont jouer, une indication et un conseil, (le n'est pas bien entendre les principes. La Science, à ces chimères, ne reste pas sans réponse. T.a décision du bon sens suffit, elle est nette et claire : à quoi bon la traduire en Algèbre? Le préjugé est opiniâtre. Les géomètres perdraient à le combattre leur temps et leurs formules.

L'illusion repose sur un sophisme : on allègue la loi de Bernoulli comme certaine ; elle n'est que probable. Sur 20 000 épreuves, dit-on, à la roulette, la noire ne peut pas sortir plus de io5oo fois, l'assertion de la Science est formelle. Si les loooo premières parties ont donné 6000 noires, les 10 000 suivantes ont donc contracté une dette envers la rouge. On fait trop d'honneur à la roulette : elle n'a ni conscience ni mémoire. En supposant qu'à une rencontre inouïe succédera, pour la réparer, un nouvel écart de la règle, on n'efface pas l'invraisemblance, on la redouble.

La certitude des lois de Bernoulli est celle d'un chasseur très adroit, qui, connaissant son arme, est certain d'abattre une bête féroce à dix pas. La béte se présente, il la manque ; en la voyant, finieuse, se ruer et Tassaillir, doit-il rester impassible, confiant dans la certitude de l'avoir tuée ?

LES LOIS DU IIASAItl). XXIII

Le hasard, sans choisir, régularise tout; la raison en est que, si toutes les conibinaisons, dont le noniljre est immense, étaient présentes matériellement, les moins nombreuses deviendraient introuvables. Le hasard reste libre, mais la carte est forcée.

Applicjuée aux dés, aux cartes, au jeu de rouge et de noire, aux numéros pairs ou impairs, à pile ou face, la théorie des chances est indiscutable : rien n'v altère la rigueur des preuves ; l'Algèbre exécute plus rapidement les dénombrements qu'avec de la patience et du temps on pourrait faire sur ses doig^ts. Tous les arrangements sont également possibles ; que les plus nombreux se présentent, il n'y a pas de sujet d'éfonnement.

La Phvsique, l'Astronomie, les phénomènes sociaux, semblent, dans plus d'un cas, régis par le hasard. Peut-on comparer la pluie ou le beau temps, l'apparition ou l'absence des étoiles fdantes, la santé ou la maladie, la vie ou la mort, le crime ou l'innocence à des boules blanches ou noires tirées d'une même urne ? Le même désordre apparaît dans les détails, cache-t-il la même uniformité dans les moyennes? Retrou^ era-t-on dans les écarts les traits connus et la physionomie des effets du hasard ?

Tout événement qui alterne avec son contraire est comparable aux boules blanches ou noires puisées dans un sac; le sac est-il toujours le même? est-il ouvert? Lne force intelligente, se proposant une fin, intervient-elle dans une mesure petite ou grande pour corriger les caprices du sort ? Le raisonnement ne peut devancer l'expérience ; les observations, soifi^neusement discutées, condamnent, en même

temps que les sceptiques rebelles à huit rapj)rochement, les esprits absolus (jui prétendent tout soumettre au calcul.

L'empreinte du hasard est niarcjiiée, très curicnscmenl quelquefois, dans les nombres dé(biils des lois les plus précises. Lue Table de logarithmes en témoii^nie. Pour 1 <)()(><) nombres successifs, dans les 'l'al)les à lo décimales de Véga, je prends la septième figure du logarithme : rien d.ius ce choix n'est laissé au hasard. L' Vlirèbre gouverne tout, une loi inflexible enchaîne tous les chiffres. Si l'on compte cependant les résultats, on aura, à très peu près, sur loooo, looo fois le chiffre o, looo fois le chiffre i et ainsi des autres; la formide se conforme aux lois du hasard. \ érificatit)u faite, sur loooo logarithmes, le septième chiffre s'est trouvé ()f)o fois égal à o; f)9y fois à i ; 993 fois à 2; 1012 fois à 4- Ei partageant les 10 000 nombres en dix séries et prenant pour chacune les moyennes des écarts, j'entends la différence entre le nombre des apparitions de l'un des chiffres et le nombre normal 100, et les comparant à la moyenne du carré des écarts, le rapport des nombres, qui, d'après les lois du hasard, devrait être i,^)~o~c)G, moitié du nombre que les géomètres désignent habituellement par la lettre t:, se trouve égal à i,,j6i ; le même calcul fait à l'aide du chiffre i ilonne 1,598, et la moyenne de ces deux résultats est 1,579. Les trois premiers chiffres sont exacts.

La marque du hasard semble visible. Pouvait-on cependant le mieux tenir à l'écart ? Nos lois expriment une propriété commune aux combinaisons les plus nombreuses ; elles se vérifient quand on ne choisit pas, il ne suffit pas de choisir pour s'y soustraire.

Le partage des naissances entre les deux sexes a été étudié sur plus de 200 millions d'enfants. Depuis près de deux siècles, le nombre des garçons a dépassé celui des

LES LOIS ItU II\S\I!I).

filles ; aucun p.iNS ne fait cxcepliOu ui aucune époque. I.e ra|)|)()il varie peu : le nomhre des garçons, poiu- loo filles, est compris, pour un grand uond)rc de naissances, entre lo/j et io8. On s'est demandé si celte supériorité observée chez toutes les races, dans les villes comme à la campagne, au midi comme au nord, chez les plus pauvres comme chez les plus riches, est une loi de l'humanité ou un accident lor- Uiit.

A notre époque et pour notre état social, l'évidence est complète ; ni les calculs ne sont nécessaires ni les raisonnements. Ils le sont pour un second problème. Les variations observées d'une année à l'autre pour un même pays, d'une province à l'autre pour une même année, sont-elles assimilables aux résultats capricieux du hasard? Peut-on voir dans la constance approchée du rapport un témoignage suffisant de la loyauté du jeu? Je précise la question : nue urne, toujours la même, contient des boules noires et blanches; on y puise une boule au moment de chacjue naissance. Pourrait-on sans invraisemblance représenter par le nombre de boules de chaque couleur la proportion variable des naissances? Le nombre des noires, bien entendu, l'emporte sur celui des blanches dans la proportion qui convient au succès.

Les écarts de la moyenne produits par le hasard sur i million d'épreuves, pour un événement dont la jirobabilité diffère peu de ^, ont pour valeur moyenne /joo. De plus grands écarts sont possibles assurément, mais leur probabilité diminue rapidement. On peut parier looo contre t pour un écart moindre c|ue 1600. La probabilité d'un écart supérieur à 2000 est 77^7^/7000- Telles sont les indications du calcul.

2000 naissances masculines en plus sur i million accroi-

PRKFACE.

traient de moins d'un centième le rapport du nombre de i^areons à eeliii des lilles. Les rapj)orts extrêmes fonrnis pai' la SLitislique, i ,o /i et i,o8, difïèrent trop l'un de l'autre pour permettre l'assimilation pure et simple aux effets du hasard. T.es conditions ne peuvent donc être, en tout temps et en tout pavs. idenlicpuMiient les mêmes, mais la ^arialion est petite. Pendant l'année 1887, le nombre des garçons nés à I*aris est descendu à looy/j pour 10 000 fdles. Dans les hasards d'un tirage au sort dont les conditions seraient invariables, sur un nombre d'épreuves égal à celui des naissances annuelles à l'aris, ou pourrait jiarier |)!us de r million contre i (ju'une telle anomalie ne se produira jias. ()ue s'est-il passé en 1837? ^^'^ ^'^'"'^ s'attendre à l'ignorer toujours. Dans plusieurs départements, depuis le commencement du siècle, le nombre des naissances annuelles des fdles a surpassé exceptionnellement celui des garçons. L'anomalie a moins d'importance que l'écart observé à Paris, elle se rapporte à des nombres cinq fois moindres.

La recherche des causes est délicate et obscure. Il est à regretter, dit M. Quetelet après de longues et patientes recherches, qu'on ait si peu de documents pour s'éclairer.

L'âge des parents joue sans doute un grand rôle. Cette explication semble la meilleure. Si on ne l'accepte qu'avec doute, c'est que, masquée par le hasard, l'influence reste mal connue; l'âge moyen du père et celui de la mère varient peu dans un môme pavs. La variation des âges peut cependant expliquer, en partie au moins, les anomalies observées.

Allons plus avant et cherchons dans les efTets troublés les traits généraux du hasard.

La quadrature du cercle déduite approximativement du nombre des naissances ne laisse guère subsister de doutes.