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iOl. Il est intéressant de chercher pour quel nombre |j. de parlies la probabilité de voir la ruine du joueur s'accomplir au ijl'""" coup précisément a la valeur maxima. L'expression de cette probabilité, en supposant les enjeux égaux à ï*^' el la probabilité de gagner chaque partie égale à {, est

7Uy '

si l'on change a en |ji. 4- 2, elle se multiplie par

ccst-à-dire

\ / ;jL —m) \

(;jL-^2)--

2/ (:jl-^2)'

laC CALCUL DF.S PHOBABILITÉS.

L'expression augineiile avec ;/, lanl(|ue Ton a

[i(ui-r-i)>(;jL-4- -i)-— mî,

c'esl-à-(lire

3;jL < W-— i,

el la probahililé inaxiina correspond à

SI m = 100.

On a

I^a probahililé maxlnia est égale à 0,000092.).

lOiî. Si l'on remplaçait l'expression (10) par la valeur approchée

la valeur niaxinia s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée par rapport à ul; on trouve

La dilTérence des résultats est, par sa petitesse, une vérification de la formule approchée.

103. Problème LIIL — Pierre et Paul jouent à un jeu de hasard. La probabilité de gagner chaque partie est p pour Pierre et q pour Paul. L'enjeu de Pierre est a francs, celui de Paul b francs. Pierre possède ni francs, Paul n francs; le jeu est équitable. Quelle est la valeur probable du nombre des parties qui seront jouées avant la ruine de l'un des joueurs?

En nommant Vj- cette valeur probable lorsque Pierre possède r francs, c'est-à-dire l'espérance mathématique de celui qui aurait promesse de recevoir i'"" par partie jouée, on aura

CH.VP. VI. LA nUI.NR DES JOUEURS. 12"

II est clair, en cflct, que le nombre des parties jouées comprend d'abord la partie par laquelle on commence, qui certainement aura lieu, et (pi'après celle partie respérancc nialliémalifpic cliercliée csl (li'VL'iuie )'x^t, ou J'x-(ti selon celui des d(Hi\ joueurs rpii a j^agné.

[-.a probabililt' pour que la valeur de l'espérance matliémaliquc devienne y^+ù étant y;, et pour qu'elle devienne yx-a étant f/, l'équation (12) est la conséquence immédiate des princij)es.

i^a solution générale de l'^'quation (12) doit contenir deux constantes arbitraires, et ne peut évidemment en contenir davantage.

Posons

j = ax-+ Sx -h y;

en supposant /j/y = qci^ l'équation sera satisfaite si l'on pose

au

3 et -' restant arbitraires.

La solution générale est donc

Les conditions évidentes

donnent

et

ym^n = 0

m -^ n ab

y tu

mn

Le nombre probable des parties est donc proportionnel au produit des fortunes des deux joueurs; il devient infini (88) lorsque l'une des fortunes est infinie.

I '.^8 CALCUL DES l'IiOllAIlI LITKS.

101. M. Ilouchr ;i t'icnclu la soliilioii prrccdcnlc an cas où le jeu n'csl jias t'(|iiital)lo. Il a résolu le prohlcmc suivanl :

PiiOBLÈML Ll\ . — Pierre cl Paul jouent aux conditions énoncées dans le problème précédent ; mais le jeu n^est pas équii(d>ti\ il différence pb — <ja n'est pas nulle. Tr<)U\e)- la valeur probable du nombre des /)a/-ties (jui précéderont la ruine de l'un des joueurs.

L'éq lia lion

(It'linil, comme dans le cas prccédenl, le nombre |)roh:d)le des parties qui restent à jouer lorsque Pierre possède a* francs et Paul m -\- n — X Iraiics.

On satisfait à celte équation, quelles que soient les constantes qui y figurent, excepté dans le cas traité précédemment, en posant

(i3) .7-x= Ga-r— C'a7-+- G",

y. ('■tant la racine de léqualion

et en prenant

Ces valeurs sont données |)ar la suhslilulion de (i3) dans l'équation, en écrivant (ju'elle devient identique. C et C" restent arbitraires. (Quelles que soient leurs valeurs, l'équation est satisfaite. On les déterminera parles conditions

En nommant P la probabilité calculée (9i2) pour que Pierre finisse |)ar ruiner Paul, on trouve, en efl'ectuant les calculs,

pu — qa ' résultat élégant rpai peut s énoncer ainsi :

Le nondj/c probable des peu tics est égal an rapport de l'a-

CHAI'. VI. LA RUI^E DKS JCtL'KURS. l H)

K'antage total de L'un des joueurs à ['(nanlage du même joueur dans chaque partie.

{m-\-n)\} est en elFct l'espérance nialhémalique du joueur (|ui a probabilité V de posséder l'enjeu total (/« + /;), /// est la fortune de ce joueur, et le numérateur est l'avantage qui résulte pour lui de la di'cision prise de continuer le jeu indéfiniment. Le dénominateur est, pour cliaque partie jouée, l'excès de son espérance mathématique sur sa mise.

lOo. Il semble facile de démontrer ce théorème directement. Supposons y>^ — a(i positif, le jeu est avantageux au premier joueur. Soit n le nombre de parties qui seront jouées. Si />(, Pli . . . ./?[j. sont les probabilités pour que le jeu finisse en x^. Xi, . . .j x^s, parties, le nombre probable des parties est

(l5) P\ri—p2Tz~ p:iX3^...^-p^X^.

Celui qui aurait droit à une somme égale à (i5) pourrait conclure avec des acheteurs différents des marchés équitables pour leur vendre en détail les avantages qui, suivant les cas, j)ourronl pour lui résulter du jeu. Si le nombre des parties est x,, un acheteur recevrait la promesse du bénéfice correspondant; il devra

pour cela payer

piXi(pù — aq),

puisque chaque partie jouée équivaut pour Pierre à un avantage

pb — aq.

Les ventes simultanées faites à des acheteurs différents ne

peuvent faire naître aucune difficulté pour le règlement des

comptes. Quel que soit, en elTet, le nombre des coups joués, l'un

des acheteurs se substituera au vendeur, et les autres n'auront

rien à réclamer. La somme pavée en échange de la totalité du gain

espéré sera

{p\Ti — p-ix, — . . .^ p^x^)i pb — fja I.

Cette somme est l'excès, sur la fortune de Pierre, de l'espérance mathématique résultant pour lui de la détermination de conti- B. 0

nuer le jeu jusqu'à la ruine do l'un des joueurs, à un jeu inégnl doul les conditions lui sont avantageuses. Celle espérance nialhéniati(|ue esl le |)roduil de l'enjeu (ni -^ n) par la probabilité V de le i^agner, el lavanlago du joueur esl l'excès de celle espérance niallu'iualKpie sur la souinie (|u'il j)OSsédail avant d'entrer au jeu, mais (|ui, une fois le jeu commencé, ne lui appartient j)hi^.

On peut donc écrire

(/>i^i-^ Pi^2-^- ■ --^Pa-fiiHpf^ — 7") = P(m -I- /t) — m

el, par conséquent,

/>, X, -- Pi Xi -h... -h /îjj.O'jj. -

/)b — rj a C'est le théorème de INI. Rouché.

106. Nous avons plusieurs fois signalé des raisonnements plausibles, qui, lorsqu'on y regarde de près, manquent de rigueur et conduisent à des conclusions fausses. Celui qui précède conduit à une formule exacte. On peut cependant élever contre lui une objection fondée.

Lorsqu'un joueur est admis à jouer une partie inégale, dont les conditions lui sont favorables, la probabilité de gagner la mise h de l'adversaire étant/;, cl celle de perdre une mise égale à n étant ry, l'avantage de jouer une partie dans ces conditions a pour valeur équitable pb — qa ; le droit de jouer un nombre x de parties doit être payé x{pb — ^«); c'est ce qu'il vaut.

Mais quand ce nombre x, au lieu d'être donni-, esl désigné comme le nombre de parties jouées jusqu'à la ruine de l'un des joueurs, ces parties, quoique le détail des perles el des gains soit inconnu, ne présentent pas les mêmes chances que si l'on connaissait seulement leur nombre fixé à l'avance el les conditions du jeu. Si, par exemple, le nombre de ces parties esl assez petit pour que la fin du jeu, que par hvpolhèse elles procurent, ail exigé la perle continuelle du second joueur, le droit, pour le premier, déjouer chaque partie ue vaut plus/>^ —(jci^ il vaut b.