C.IIM'. \l. — I-.V HUINK DKS JOHEUHS

Le calcul de INI. Rouché était donc nécessaire, et le raisonnement, quoique très spécieux, (jui conduit au résultat exact, n'est cependant pas rij^oureux.

107. La démonstration ( lOo) ne s'applique pas au cas où le jeu est équilable. L'expression (i4) j)rend la forme {J; on peut en trouver la vraie valeur.

La valeur probable du nombre des parties est

P(m ^ n) — m pb — qa '

on a (92)

I — a"'+" a étant racine de l'équation

p:ta-\-b — a«-h <7 = o.

Si l'on suppose /)6 — qa = z, t étant infiniment petit, a difl'ère infiniment jHMi de l'unité. Posons

La valeur de P devient

h {m -^ n) -\ {m -h ny- ■

et, en négligeant le carré de A,

1'=— '"-fi-^

l'expression du nombre probable de parties devient, par la substitution de cette valeur de P,

hmn

le rapport - est indépendant de tn et de n : le nombre probable des

parties est donc

l32 CALCUL DES PUOB.VDILITÉS.

Celant uncconslanle; et, comme le nombre des parties est égal à l'unité quand on ain = (i, /t—-(>,\\ raulsupposerC= .-• On retrouve le résultat dt'-jà ohlenu.

108. Dans le cas où les deux joueurs possèdent au début la même somme, on peut trouver la valeur probable du nombre des parties par une méthode très difTérenle des précédentes.

Soit '^{oi) le nombre probable des parties lorsque chaque joueur possède m francs. Supposons que l'avoir de chacun soit doublé, le nombre probable des parties deviendra ':j[im). Si Ton fait dans l'avoir de chaque joueur deux parts égales à /», on peut supposer que chacun expose d'abord, dans deux luttes séparées, la moitié /;/ de ses francs contre la moitié de ceux de son adversaire. Après celte première série de parties, de deux choses l'une, l'un des joueurs a gagné deux fois, et l'autre est ruiné, ou bien chacun a gagné une série et ils se retrouvent tous deux avec un francs. La valeur probable du nombre des parties est alors, comme au début, '^[iin). La probabilité pour que le premier joueur ruine son adversaire, lorsque tous deux possèdent ni francs, est (92)

et, pour (juil soit ruiné,

La probabilité pour que l'un des joueurs gagne une série et perde l'autre est le produit de ces deux probabilités, qu'il faut doubler puisqu'on ne dit pas dans quel ordre les événements doivent se succéder; on doit donc avoir

(l6) o(2m) = 20(m)4- — -^;;;yy, 0(2m),

a étant (92) la racine de l'équation

r.ll\I>. VI. LA RUINE DES JOLEIBS. l33

L'équation (i(3j donne

I } aï"' (•7) ?^2"^\-,-:^-a"')î =-^'^("'^-

Celte é(|iialion, si on la suppose vraie pour toute valeur de m, permet de déterminer la fonction o. Nous nous bornons à mentionner ce problème, qui n'intéresse pas le Calcul des probabilités.

109. La probabilité dans un nombre donné de parties de la ruine dun joueur, dont l'adversaire est infiniment riche, a été donnée par Lagrange, puis par Ampère dans le Mémoire sur la théorie du jeu, lequel a été son début dans la Science.

Lorsque deu\ joueurs luttent l'un contre l'autre et que chacun peut ruiner son adversaire, le problème est très différent. La solution suivante, qui se présente d'abord, n'est pas exacte.

Soient m et n les fortunes des deux joueurs. Supposons le jeu équitable : la probabilité pour chaque joueur de gagner une partie est ^, l'enjeu est l'^

La probabilité pour que le premier joueur ruine le second est

? pour nu il soit ruine lui-même elle est •

Si l'on sait que l'un des joueurs doit être ruiné, on peut, sans changer les chances, supposer à l'adversaire une fortune infinie. Si donc on nomme 'f (/«, Y-) la probabilité pour qu'un joueur qui possède m francs soit ruiné, en a coups précisément, par un adversaire dont la fortune est infinie, la probabilité pour que la partie engagée entre deux joueurs, dont l'un possède m francs et l'autre n francs, se termine en <j. coups précisément sera

Le raisonnement n'est pas exact.

Si l'on sait que Pierre a été ruiné par un adversaire dont la fortune est finie, on en peut conclure que le hasard ne l'a pas favorisé : les combinaisons qui, débutant par un grand nombre de

I,')/| CALCUL DES l'UOBAUILITÉS.

I^arlics gagnées, auraient ruiné son adversaire cloi\enl être exclues, celles dans lesquelles il gagne au début plus souvent qu'il ne perd sont rendues moins probables. La probabilité pour que la ruine se soit produite en a coups n'est plus égale à 'f(//?, [x).

110. l'uouLiiMK L\ . — Pierre el Paul possèdent chacun •.>,'■■, ils jouent jusqu'à la ruine de l'un d'eux. La probabilité de gagner chaque partie étant \ et l'enjeu égal à l'^ quelle est la probabilité pour que le jeu se termine précisénie/if en 2 ;j. parties .'

Le nombre des parties doit être évidemment pair. Si le jeu n'est pas terminé, chaque joueur possédera 2'''; car, en un nombre pair de parties, la perte de chacun est un nombre pair; si donc elle n'était pas nulle, le perdant serait ruiné.

Soitj'p. la probabilité j)our que le jeu ne soit pas terminé en au. parties, on aura

Il est clair en ellet que, si le jeu n est pas terminé en 2[ji. parties, ce dont la probabilité est y^,, pour qu'il ne le soit pas par les deux parties qui suivent, il faut que chacun des joueurs gagne une partie et perde l'autre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi est i.

De l'équation (18), on conclut

et comme, pour a = i , on aj'jx^^ t, Cest égal à l'unilc'. La probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé après 2 [x parties est donc {{)^- Pour que le jeu se termine précisément en 2|jl parties, il faut qu'il ne soit pas terminé en api. — 2, ce dont la probabilité est(|)i*~*, et que le même joueur perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est -7. Le produit {^y est la probabilité pour que le jeu se termine à la 2iji."'""' partie.

«;il\l'. \I. — L\ Ul IM". DF.S JOl Kl US. IJJ

111. PuonLÈME LVI. — Pierre et Paul possèdenl chacun j'"", ils jouent dans les conditions définies dans renoncé précédent. Quelle est la prohahiliié pour que l'un des deux soit ruiné précisément au coup de rang y.?

Le nombre de ])arlies doit être impair. Après 2 ;j. ~ i parties, si le jeu n'est pas terminé, la perte et le gain seront un nombre impair, il doit être moindre que 3, il est donc l'unité : l'un des joueurs possédera ^Z*" et l'autre .'j''^- Soit y^, la probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé au (au. -j- 1)»^""= coup, on aura

Si, en effet, le jeu n'est pas terminé au (2{jt. -j- l'j"""^ coup, ce dont la probabilité est >-(jl, il faut, pour qu'il ne le soit pas au (2/^1 + 3)'""'', ou que chacun des joueurs perde une partie et gagne l'autre, ou que celui qui a conservé 4'' perde les deux parties; la probabilité |)our que 1 un ou l'autre de ces événements se produise est \.

De Téqualion (20), on conclut

On a d'ailleurs

car, pour que la partie soit terminée en trois coups, il faut que le même joueur gagne les trois premières parties, ce dont la probabilité est |. Tl faut donc prendre C= r, et l'on a

Pour que la partie se termine précisément au coup 2 ul -f- i , il faut qu'elle ne le soit pas au coup 2;j. — i et que le joueur qui possède 2'' seulement perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est ~.

La probabilité pour que le jeu se termine au coup de rang 2;j.-+- 1

l'M\ CALCUL OES PUOBAIIILITÛS.

précisément est donc