C.HVI'. I\. F-RREIRS 1)K SIIUATIO.N Il'l.N POINT
180. Les conslanlcs / , /•' cl a claril connues pour une cerlalnc arme cl j)Our un certain tireur, si l'on pose
/.- u- -T- 2 À uv -f- k'- v- =11,
la probabilité pour que la balle soil placée entre les deux ellipses qui correspondent aux valeurs II cl II -|-f/II sera (178)
La probabilité pour que la balle frappe en dehors de l'ellipse correspondant à une valeur H, du jiaraniètre est
Si l'on pose
Hi = OjGgiii,
la probabilité sera r,. L'ellipse correspondant à celte valeur de 11, contiendra, si les coups sont nombreux, la moitié des points frajjpés à très peu près.
Si l'on donne successivemcnl à 11 les valeurs
les neuf ellipses semblables correspondant à ces valeurs du paramètre partageront le plan en dix régions contenant chacune, vraisemblablement sur un très grand nombre de coups, la dixième partie à peu près du nombre des balles. La première de ces régions est la plus petite des ellipses 5 la dernière est la portion du plan située au delà de la plus grande.
u3(> CALCUL DES PUOBAlilLlTKS.
181. A chaque point iVapi^é j)ar la balle correspond une valeur (le II. La valeur probable de II esl
Ile-" (/Il =1.
Telle doit donc èlre, avec une probabilité d'autant plus jurande que les épreuves seront plus nombreuses, la moyenne des valeurs de H correspondant aux points frappés.
IS"!. Une question fort importante doit rester indécise. Quelle est, dans un concours de tir, la règle à conseiller pour juger les tireurs? Le problème ne me semble pas comporter de solution absolue.
Si les balles tirées par deux concurrents peuvent être classées de telle sorte que chaque point frappé par le premier soit plus près du centre que le point correspondant frappé par le second, la décision semble facile. Dans ce cas-h\ même, si les diflerences sont petites, le tireur dont les balles sont moins approchées du but peut quelquefois prétendre au premier rang, en alléguant l'importance d'un écart horizontal plus grande que celle d'un écart qui laisse la balle dans l'alignement verticaL
Il semble naturel, à première vue, de mesurer le mérite d'un tireur par la surface de l'ellipse à l'intérieur de laquelle il y a probabilité donnée de voir la balle se placer.
La valeur de la différence
représenterait alors le mérite de chacun.
Cette appréciation peut, dans des cas extrêmes, qui, très probablement, ne se sont jamais présentés et ne se présenteront jamais, donner des conséquences inacceptables.
Si l'un des tireurs plaçait toutes ses balles sur une ligne droite passant par l'origine des coordonnées qui sert de but, la règle proposée lui assignerait le premier rang, quelle que lût la dislance de ses balles au centre de la cible. La surface de l'ellipse
CIIAP. I\. EnilEURS DK SITUATION I)'uN l'OI.NT. V.3-
caraclérislique serait nulle, en efTct, clans ec cas nui, \éritaljlcmenl, n'est j)as à craintlre. Il suffit qiril soit possible jxjur conclaniner la règle. La tliéorie n'en rcroit aucune atteinte.
183. Si l'on regardait (/ priori toutes les directions comme indilTérenles, il faudrait su|)j)oser A = o, le = A'; la prohabilité pour frapper la cible à une distance comprise entre 11 et K + clK serait
La valeur probable de II et celle de 11- seraient ^ et — r- ; elles
représcntcnt, pour un grand nombre d'épreuves, la valeur movenne des distances au centre de la cible et celle de leurs carrés.
Si dans un concours de tir on accorde le premier rang au tireur pour lequel une des deux moyennes désignée à l'avance a la plus petite valeur, les deux règles, si les épreuves sont nombreuses, donneront le même résultat; celui des tireurs pour lequel /• a la plus grande valeur sera certainement vainqueur.
Si les épreuves sont peu nombreuses, le concours devient un jeu de hasard dans lequel, comme il est juste, un avantage est l'ait au plus adroit. La valeur de /,', déduite de la moyenne des distances au centre de la cible, mérite moins de confiance que celle qui résulte des carrés. Le i-apporl des carrés des erreurs à craindre sur A, dans les deux hypothèses, se calculera comme (lol2); il est égal à 1 6 — 4 ~-
18i. La difficulté, on peut dire même l'impossibilité de donner une règle précise de préférence entre deux séries de coups résulte d'une autre circonstance encore. Les formules précédentes supposent que, sur un grand nombre de coups, le centre de gravité des points frappés coïncide avec le centre de la cible. Nous avons écarté, en un mot, les erreurs constantes. Elles ne sont jamais nulles cependant, et, quand un grand nombre d'épreuves auront été faites, l'examen du mérite de leur ensemble devra commencer par la détermination du centre de gravité du système des points frappés. La distance de ce centre à celui de la cible représentera
a38 CALCUL DES PROBABILITKS.
avec une grande prohabililé la partie constante de l'écart. Pour déterminer les constantes caractéristiques /., A' et À, on devra rapporter les coordonnées des points lVap|)és à deux axes ayant pour origine le centre de gravité. Le mérite duii tireur se trou- \era ainsi défini par cinq paramètres : les deux coordonnées a et h du centre de gravité G de l'ensemble des [)oinls frappés et les oonslanles A', A', /., déterminées au moyen des coordonnées prises par rapport à des axes passant par le point G. La somme a--\- b- |H)urrait mesurer l'imperfection systématique de l'arme employée ou le défaut constant du tireur dans sa manière de viser, et la différence k'-k'- — A- représenterait la précision. Le tireur est d'autant plus habile que ces quantités sont plus petites, mais il est impossible de leur assigner une importance relative.
Supposons deux tireurs, Pierre et Paul, ayant tiré chacun lou balles. Les balles de Pierre sont toutes à o"', i du centre de la cible dans un cercle de o™,o5 de rayon. Il y a dans sa manière de tirer une cause d'erreur commune à tous les coups; à cela près, son tir approche de la perfection.
Paul, au contraire, n'a pas dans son tir d'erreur systématique. Les points frappés par ses balles entourent le centre de la cible; ils sont tous dans un cercle de o'",ij de rayon.
Entre ces deux tireurs, dont l'un lire avec plus de précision, mais dont l'autre est exempt de toute erreur systématique, quel est le plus habile? La question ne peut être résolue. On pourrait la comparer à la suivante : Deux chronomètres ont été étudiés. Lorsque la température est constante, la marche du premier est plus régulière; mais si l'on échaufl'e ou refroidit l'enceinte, il subit une influence plus considérable. Comment décider la préférence méritée par l'un d'eux?
Le problème est évidemment impossible à résoudre.
185. J'ai appliqué les résultats précédents à l'examen de looo coups tirés par des tireurs habiles à 200™ de distance avec dix aruies de même modèle, chaque tireur tirant dix coups avec chaque arme.
CHAI'. I\. KRllEtnS HE SITUATION n L> l'OIM. '2Ô()
Le centre de {,^ravilc des looo points frappés avait pour coordonnées
on a trouvé, en nommant u et v les coordonnées par rapport à des axes passant [>ar ce centre de gravité, pour l'ensemble des points
frappés,
Les équations
donnent
I-.'équation d'une ellipse d'égale probabilité est /<- H- -i- y.Auv -7- A'2 p2 — II ;
à chaque po'inl du plan correspond une valeur de IL En faisant le calcul [)0ur les 1000 points fi'appés par les balles, on a formé le Tableau suivant :
Tir de 1000 balles. — Valeurs de II.
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