KKUEUUS DE SITUATION D'UN POINT
Sil p locus objccti alioiijus ex obscrvalione prima dc- (Inilus, (7, ;•, j, ... cjiiiideiii olijocli loca in obserTallonilius sc(|Uonllbus; siiit iixiipcr P. Q. II. S puiiUera reeiproco proporlionalia spatiis eYa;;allonu[u. pcr guie se (liiïundere possinl errorrs ox observalionibus slnifulis prodcunlcj, qu.-o danlur ex dalis crrorum limilibus; Cl ad puncta p. q, r. x, ... poslta intolligantur pondéra P, Q, R, S et inveriialur ooruni grarilalis
cenirum Z : dico punitum Z fore locum objocii, qui pro vcro ejus loco tulissiuic haberi pulcsi.
Roger Cotes.
175. Confiance de Bravais dans la loi élémenlairc de la probabilité des erreurs proposée et abandonnée par Gauss. — 17G. Conséquence dans le cas où l'erreur sur chaque coordonnée est la résultante de deux erreurs élémentaires. — 177. Formule de Bravais déduite d'un postulalum. — 178. Détermination du facteur que la démonstration laisse indéterminé. — 17!). Probabilité des écarl< dans le tir à la cible. — 180. Ellipse dans l'intérieur de laquelle il y a probii bilité donnée de voir la balle se placer. — 181. Moyenne probable des valoin de la constante. — 182, 183. Quelle est la mesure de l'habileté d'un tireur. Difficulté d'une réponse précise. — 18'i. Vérifications de la formule. — 185. Erreur à craindre sur la moyenne des valeurs de la conslanle. — 18G. Valeur probable du carré de l'erreur commise dans l'évaluation du nombre des ball<> intérieures à une certaine ellipse. — 187. Calculs relatifs à iooo balles tiréedans une même cible.
Mb. Lorsque les coordonnées d'un point sont déterminées indirectement par l'observation de grandeurs dont elles dépendent, l'erreur commise sur sa véritable place et la probabilité d'un éca? 1 donné dépendent de la loi de probabilité des erreurs commises dans les diverses mesures.
ciivp. i\. — eruei us ni; situation d un toint. a'.-
Les éludes faites sur celle (|uesllon, |»;irliciilirrcni<nl |);ir lîr.ivais dans un INIémoire remarqué, supposent une confiance absolue dans la loi proposée par Gauss sur la probajjililé des erreurs élémenlaires; la probabilité d'une erreur z est proportionnelle à '- *'-', la constante k variant seule avec la précision des mesures.
Les formules déduites de celte livpolhèse sont confirmées par les faits connus.
Bravais exprime les coordonnées du point observé en r(jnction linéaire des grandeurs mesurées; cela revient à prendre pour variables les différences entre les grandeurs mesurées et les valeurs observées, en supposant ces différences assez petites pour tpi'il soit permis d'en négliger le carré.
176. Supposons, par exemple, que, x et y étant les coordonnées d'un point inconnu dans un plan, on ait
X = \ -T au -i- /ji\ y = Y -^ a' u -t- b' V ^
X et Y étant les valeurs approchées obtenues en acceptant les mesures comme exactes et u et v les erreurs commises sur ces mesures.
La probabilité pour que l'erreur u soit comprise entre x el a -^ dx étant
et celle pour que l'erreur e soit comprise entre 3 et ^S -f- d'j,
la probabilité pour que le point dont les coordonnées sont .r et j' se trouve dans la partie du [)lan (pii correspond aux limites indiquées est
On peut, dans cet élément d'intégrale double, substituer aux
228 CALCUL DES PROUAUILITÉS.
v.iriables a cl |j les difTcrcnccs
Le produil r/a^/S, d'iiprcs la ihcorie de la Iransformalion des intégrales, sera remplace par
cixi dyi dxi dj'i ab' — ba' 7lx 'dp ~'df "dx
c{ la probabilité pour que le point soit compris dans le rectangle inliniinenl petit f/.r, f/)', prendra la forme
l'exposant de e étant la somme — /. - x- — /.'- j- exprimée en fonction de X, et de l'i .
177. La méthode peut être étendue au cas d'un nombre quelconque de variables élémentaires. On transformera, dans tous les cas, la probabilité d'un système d'erreurs mis sous la forme d'un élément d'intégrale multiple, en introduisant au nombre des variables les coordonnées du point étudié auxquelles il faudra, dans le cas général, associer d'autres variables. Ces variables, arbitrairement choisies, disparaissent à la fin du calcul; mais les transformations intermédiaires sont fort compliquées.
On obtient très simplement le même résultat en acceptant un postulatum équivalent à celui de Gauss (138), énoncé par Cotes, en 1709, et employé ingénieusement par ^I. Schols pour démontrer le théorème de Bravais.
Si plusieurs positions d'un même point ont été successivemeni obtenues et méritent la même confiance, la position la plus probable est le centre de gravité du système des difi'érents point ^ considérés comme de même masse.
Soit '^(a, [j) dx d^j la probabilité pour rpie Terreur commise sur l'abscisse du point inconnu soit comprise entre a et y.-\-dx et l'erreur sur l'ordonnée entre ^ et ^-\-d'^, le point se trouvant
CHAP. I\. — FnnF.URS I)K SITf,VTIO\ 1) VS POINT. n.'.()
compris, par conséqucnl , dans un reclanj^lc iiiiiiiiiiicnl prlii île surface dxd^p.
Si J^i j'i , ^'jjf'j, ..., .r„ i„ sonl les coordunnées des positions prcsumées d'un mcnic point et x.y les coordonndes véritaldcs, les erreurs successivement commises dans les diverses déterminations des coordonnées inconnues sont représentées par x — x,, y — )'i, .... et la probabilité de leur concours est proportionnelle au produit
La position la j)lus probable a j)Our coordonnées, d'après le
postulatum,
Ces valeurs de x et de y doivent rendre le produit (i) maximum et, par conséquent, annuler les dérivées de ce produit par rapport aux variables x et j'.
Si l'on pose
à loir, y) p , ,
dlo(x,y) „ , , '--^-^^ = h,{x,y),
les coordonnées x et y définies par les équations (2) doivent satisfaire aux équations
Fi (x — Xi.y —yi) -^Fiix —Xi.y —y. ) ^ ...-i- F i{x — x,„ y — y,,) = o, Fiix — xi,y — yi) -h F.2{x — X2,y —y.2) -i- ...-h F.Çx — x„,y — y„) = 0.
La somme des variables x — .r,, j" — ./j, ...,x — .r„ est, en vertu des équations (2), égale à zéro, ainsi rpic celle des variables 1' — y, , )- — ^'2, . . . , y — y,i ; aucune autre condition ne leur est imposée. Les fonctions F, et F^ sont donc délinics par les conditions que les équations
Fl(«l, t'l) + Fl(«2, ''2)-^-- .M-Fi(t<„, Vn) = O,
.»3o CALCUL DES PKOBABILITÉS.
soient les conséquences nécessaires des relations »1 -t- f/î-t-. , .-+- //„ = o,
entre les variables.
En réduisant à deux le nombre des variables, la condition se
réduit à
Fi("i.<-i)-+-F|(— "i- — '•!) = o;
la fonction F, change de signe quand les deux variables changent de signe.
Si l'on suppose trois variables, on obtiendra, en tenant compte du résultat précédent,
(4) Fi(''i. c, )-H F,û/2- i-î) = Fi(«,-4- u., t'i-r-r.),
quelles que soient les variables ;/,, r,, ;/o, Cj. On en déduit, en posant ^^ • ='fi(r,y),
?l(«l, «-'!)= ?l(«l+ "2,''l+ ''2), 0|(«2. ^'2) = 'fl("l-t- «2. l"l-+- «'2);
par conséquent,
Oi(î<,, l'i ) = o l(»2, ''2)-
La dérivée de F) par rapport à x est donc une constante. En difTérenliant l'équation (4) par rapport à i-, et à to, on verra qu'il en est de même de la dérivée par rapport à y. Les dérivées de la fonction F, étant constantes, cette fonction est linéaire par rapport aux deux variables; il en sera de même de F^, et nous pouvons poser, en remplaçant F, et Fo par les dérivées qui les 1 définissent (3),
dlo{x,r) ,7,
—s—J-^ax+hy, j
ax-^hyQ.\. f/'x -h ^'jK étant les dérivées d'une même fonction,
on doit avoir
diax ^ by ) d(a' x -\- L'y ) ■ d]r = di '
CH.VP. I\. — KIlUFX'nS I)K SlTlATIO.\ I)'r.\' POINT. 2.'il
par con.sc(|ucnl , b ^^ a' . La fonction i':;>[j-,y) d(''(inic par ses deux dérivées est nécessairenienl de la forme
l o{T,y) = 1- bTy-\ ^ H G.
rt, />, b' cl C étant des constantes.
Les eiTCtiis infinies élanl impossibles, '^(x, y) doit s'annuln quand x et )■ sont infinis, les constantes a et b' seront négatives.
La probabilité d'une erreur comprise entre tt et // -r- <l(i pour ./• et i' et r + ^i' pour j^ est donc de la forme
G ^-X««î-2>.(H'-/. îl-î fil, (l^.
Ci étant une constante cl A, constant aussi, pouvant élic po^iiif ou négatif.
Les points d'égale probabilité sont sur une même ellipse nyanl
pour équation
/.-«--f- i\uv ■+- k'-v-= H,
Il et r désignant les diflérenccs entre les coordonnées du |)oinl considéré et la position véritable, centre commun de toutes les elli[)ses semblables entre elles dont les dimensions sont proportionnelles à y/H.
178. Les qualre constantes G, A, h\ k' sont liées dans tous les cas par la relation nécessaire
1/ / c— '''■"■- ->->^^-'^"-^' du ch=\
Il faut bien, en cfTet, que les erreurs aient des valeurs comprises entre — oc et H- x, et la somme des probabilités relatives à toutes les erreurs possibles est égale à l'unité.
Posons
k- «- -f- 2 X uv -t- k'- V- — II ;
à cliaquc valeur de H correspond une ellipse dont la surface est
233 CALCIL DES PROBABILITÉS.
Tous les points tic la couronne comprise entre les ellipses correspondant au\ valeurs 11 et 11 --(^/ll du paramètre ont même probabilité, cl la somme des probabilités relatives aux éléments de j
celte couronne est
^/^i/^'i—lt
le facteur ■ — " représentant la surface de la couronne.
La condition (5) devient Gît
et, comme
on déduit de (5)
C'^dll =1.
La probabilité pour que le point se trouve entre les deux ellipses qui correspondent aux paramètres II et H -f- dH est
e-»dn.
179. La formule précédente s'applique à la probabilité des écarts dans le tir à la cible.
La première question à résoudre dans l'étude des (juestions relatives à une arme donnée et à un tireur qui en fait usage est de déterminer pour cette arme et pour ce tireur les constantes caractéristiques /. , k' et ).. Nous chercherons pour cela, en considérant ces constantes comme connues, les valeurs probables de «-, t- et iiv, u et r désignant les coordonnées du point où frappe 1 la balle par lapport à deux axes passant par le centre de gravité de tous les points frappés, supposés, bien entendu, très nombreux.
Les valeurs probables, en vertu du théorème de Bernoulli, doivent différer 1res peu des valeurs données aux moyennes par lé j hasard.
Les coordonnées du point où frappe la balle par rapport au\
CHVP. I\. EnUELRS DE SITUATION Wvy POINT. 2.33
axes dont l'origine est au centre de f^navilé des points frappés étant désijjMiées par u et *•, la probahililé pour que ce point se trouve dans le reclanîrlc da dv étant
1 e-i^- ii^-i>.iiv-k '■ V (lit (i^,
la valeur probable de //' est
(6) 1 ' / / u-e--'^''''—^''"^-''"-^'(/u(li>.
On peut rf'crire
^-) V^^'^''-^' f u^- €-''■■"■■ du f^ e' ''"'('' ^^') dve'~^ :
Tt <y 30 1/ — as
on a
et l'expression (y) devient
La formule
donne pour (8) la valeur
dz =
Telle est la valeur probable de li-.
La valeur probable de uv est exprimée par
î^ / ue-^-"du f ve-f" ■"-->"" di'-.
TT «y — X %J ^ 31
,./ À»/>« A'i/' g— a' V— ÎAUl' — g \ k^/ Q k ■
on a
Posons
hu t
234 CALCVL DES l'UOBVBlLITÉS.
on aura
I ^•e \ k-J fiv = \ e-'- ;-; dt=—-j—i/r..
La valeur probable de //r se réduit donc à
— -î = — Al u-due \ ^ »/ = -rrrr. rr •
La valeur probable de i-, calculée comme celle de «-, esl
En égalant les valeurs probables aux valeurs moyennes données par l'ensemble des résultats obtenus, on obtiendra des équations dont les deux membres, si les observations sont nombreuses, différeront probablement très peu. Posons donc
cf -f- v\ -I-.
..— i-îi
