o,2i5 // o,5oi " o,8S
lO'i // o,2i5 '/ o,5o3 // 0,893 /
107 // " /' o,5io " 0,897 '
108 " " " o,5io " 0,899 '
111 Il II II II II o,9o3
Les nombres de balles placées dans les divers intervalles auxquels correspondent des probabilités égales à -^ sont, d'après ce Tableau, 99, 106, 100, 108, 100, 1 15, 89, 94, 90, 97.
Aucun d'eux ne s'écarte assez du nombre le plus probable 100 pour démentir la théorie.
A chacune des limites adoptées pour 11 correspond, nous l'avons dit, une probabilité 75, et 100 balles par intervalle représenteraient l'événement le plus probable. L'événement le plus probable se présente rarement, il y a toujours un écart. La valeur probable du carré de l'écart calculée plus loin (187) est
qooo
(.') Plus deux balles mises hors la cible.
cn\i>. i\. — KitiiKuiis i)i: siTi ATioN I) i:n point. v.'i >
La somme des carrés des écarts observés est
I -f- 3G H- G î -+- •.).9, > -I- I -2 1 -4- 30 -t- I oo -)- I = Ga \ ;
la moyenne est 62, /\.
Le carré de IV-cart mojen est donc inférieur à sa valciii- [Hdbable, cl l'accord de la théorie avec les faits est aussi satisfaisant (|uc possible.
I^a valeur probable de II est, nous l'avons démontré, égale à l'unité. La valeur moyenne des yg8 valeurs données par le hasard est 0,981. L'accord, on le voit, est de nouveau très satisfaisant.
186. Nous avons trouvé (181) la valeur probable du paramètre H, caractéristique des ellipses de probabilité donnée, égale à l'unité. Il est intéressant de chercher la valeur probable du carré de l'erreuicommise en égalant à l'unité la moyenne des valeurs de H, c'està-dire de calculer la valeur probable avant l'épreuve de
H,-hH2-+-...+ H„
II,, IIj, ..., H/i étant les valeurs de H relatives aux diverses épreuves.
La valeur probable de H? est
e-"iI^V/II = z;
celle de Hj est l'unité, et la somme (11), cp ayant égard nu nombre de termes compris dans chaque somme ï, est
Telle est la valeur probable du carré de l'erreur commise rn égalant la movenne des valeurs de II à l'unité.
244 CALCLL DES rUOB.VBlLITÉS.
187. Nous avons trouve la valeur de II pour laquelle la prohabllilé de voir la balle se placer à l'inlérieur de l'ellipse corresl>ondanlc est ^.
Soient N le nombre des balles qui frapperont dans l'intérieur de l'ellipse, n celui des balles tirées, la différence
lo sera petite si n est grand. Cherchons la valeur probable du carré
on a
La valeur probable de N est — ; par conséquent, celle de
est - — j et l'expression (12) peut être remplacée par
— est donné, puisque n est le nombre des balles qui ont été 100 '11 1
tirées; nous devons chercher seulement la valeur probable de W.
N est le nombre de balles placées dans l'intérieur de l'eUipse. Le problème est donc celui-ci :
Un événement a pour probabilité -j^ ; quelle est la valeur probable du carré du nombre de fois qu'il se présentera sur n épreuves?
Soient p la probabilité de l'événement {p est ici égal à -/j) et q la probabilité de l'événement contraire.
Le développement
{p -^qyz= pn-i- npn-^rj ^ '■ — ^^— p"'-^ q^ -i- . . .4- g"'
donne, par ses différents termes, les probabilités des combinaisons qui'peuvent se produire.
CHAP. I\. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. Àii^
Si donc on représente celle somme par
la valeur probable du carré du nombre ni d'arrivées d(; rév('iitinent dont la probabilité csl p est
X/n2 A „,/>'"; on a
(p^q)n=ZX„,p"'.
En prenant la dérivée par rapport à /> et multipliant par/?,
n{p-^q)"-ip =zl. m \,„ p"' ;
prenant de nouveau la dérivée par rapport à /> et multipliant par/),
n(p + q)"~^ p -h n{n — i){p -i- qy-^ p^= I.m-\„ip"'
et, puisque /J -\- q = i,
Zm-\,np"^ = np-\- n(n — i) f,- = n^p--\- npq.
p est -p;, q est ~ •, la valeur probable de N- est donc
;/- 9 n loo loo
et, par conséquent, celle de N- est
^ >■ ' lOO
zoo
La différence N doit très probablement au^rmenter indé-
Animent, comme le font toujours les valeurs des différences absolues entre les grandeurs dont les valeurs probables sont égales; mais la différence des valeurs relatives
y. 46 CALCUL DES l'UOB VBILITÉS.
tendra vers zéro, car la valeur probable de
\ n 1 ( ) / est
«2 \ioo/ loon
Le rapport du nombre N des balles qui se placeront dans l'inhrieur de la petite ellipse, au nombre total n des balles tirées, tend \crs -j^ quand n augmente, puisque la valeur probable du carre
(le la différence avec — est -^ —
