CHAPITRE X
LA TlIÉOlilE DES MOYENNES.
Errorum rrcularium considcralio propric ab insllluto nostro cxcludilur.
188. Abandon nécessaire de la loi de Gauss. — 189. Conditions imposées à la loi inconnue qui devrait la remplacer. — 190. Détermination expérimentale de la partie constante de l'erreur. — Évaluation de l'erreur à craindre. — 191. La moyenne des mesures converge vers la valeur véritable augmentée de l'erreur constante. — 192. Valeur probable de la constante caractéristique désignée par m"^. L'évaluation de l'erreur à craindre dépend d'une constante nouvelle. — 193. La constante m^ diminue quand on rctranciie l'erreur constante. — 194. Importance de la valeur de m^; insuffisance de la formule la plus simple. Correction proposée sans preuve bien satisfaisante. — 195. Observations de mérite inégal. — Poids d'une observation. — 19G. Objection de Poisson à la théorie des moyennes. — Cause de l'exception.
188. Ni le succès près des observateurs de sa loi de probabilité des erreurs, ni la simplicité des conséquences, ni leur accord constant avec les faits n'ont décidé son illustre inventeur à y voir une vérité démontrée. Nous avons indiqué les graves objections que laisse subsister (138) la démonstration . Jamais Gauss ne les a proposées, mais l'abandon de sa première théorie permet de croire qu'elles s'étaient présentées à son esprit.
Sans renoncer aux méthodes déduites de cette théorie et devenues indispensables, Gauss a voulu les établir sur des principes plus certains.
La recherche d'une loi rigoureuse pour représenter la probabi-
248 CVLCLL DES PROBABILITÉS.
lilé des erreurs ne semble laisser aucun espoir de succès : les plus illustres y ont échoué et les données du problème ne semblent donner prise à aucune recherche théorique.
Gauss, sans chercher cette loi inaccessible, variable sans aucun doute d'un cas à l'autre, a su, tout en laissant la fonction indéterminée, résoudre rigoureusement le problème.
La fonction inconnue, d'après l'ingénieuse manière dont il pose la question, ligure seulement dans des intégrales définies dont les valeurs numériques deviennent les constantes caractéristiques d'un système d'observations.
189. Supposons qu'en mesurant une grandeur la probabilité d'une erreur comprise entre ;? et c H- dz soit représentée par '■i{z)dz-. La fonction inconnue 'f(^) doit satisfaire à quelques conditions qu'il faut dire :
On a riiroureusement
(I) J''^{z)dz =
Il faut bien, en effet, que l'erreur ait une valeur, cl la somme des probabilités pour tous les cas possibles, entre — czd et -}- oc, représentant la certitude, doit être égale à l'unité.
Si les mesures n'ont pas d'erreur systématique et que l'instrument rende les erreurs positives aussi probables, exactement, que les erreurs négatives, on aura
C'est ce que nous avons supposé jusqu'ici, admettant qu'avant l'étude d'un cas particulier on ait déterminé l'erreur constante de l'instrument, pour la faire disparaître ou pour en corriger les résultats.
Ne faisons pas d'abord cette hypothèse, et posons
(2) / zo{z)dz = a;
a sera une constante que l'on peut appeler Vcrrcur probable.
CHAI'. \. — 1. V Tiii^;onii: dks movkiNNES. i/nj
Gauss la nomme la partie constante de r erreur. Quand on l'aura tlétcrminéc pour un instrument donné et un observateur désij^né, (in II retranchera de clia([iie mesure; l'erreur, f|ni était :;, deviendra z — a. En posant
la probabilité de l'erreur j^ sera toujours C5(v)<:/;^ si (tii I;i nomme Ay)df, on aura
f yf{y)cly^- r (z-a)':^{z)dz
et, à cause des conditions (i) et (2),
/ yf{y)dy = o.
La valeur probable des erreurs corrigées est donc égale à zéro et, ce qui revient au même, leur partie constante est nulle.
Nous parlons de la différence entre la valeur exacte et la valeur observée, qui peut être positive ou négative, et non de l'erreur absolue, toujours positive, dont la valeur probable, évidemment, ne saurait être nulle.
490. La détermination de la constante a sera facile, en général : on mesurera un grand nombre de lois une grandeur bien connue.
Soient G), eo, . . ., Cn les erreurs successivement commises, on prendra
ei
La valeur probable de l'erreur doit en effet, d'après le théorème de Bernoulli, différer peu de la moyenne des erreurs.
On peut aller plus loin et donner une appréciation de l'erreur à craindre, en acceptant l'équation (3).
Posons
r z^-,^{z)dz=
aSo CALCUL DKS PROnVBILITÉS.
La conslanle /??- est (It'lorniinéc pour chaque système d'expérience. On en trouvera l;i valeur approchée, cxpérinienlalenienl coninic on a trouvé celle de a.
Cherchons la valeur probable de
elle donnera, évidemment, un(! indication de l'erreur à craindre quand on accepte comme nulle la grandeur positive qu'elle représente.
Cette expression (5) peut s'écrire
Se? •?, Se,e,' "y.a „
— ^ -\ ^ Se/ + «2.
n'- II- Il
La valeur probable de e] est, c[uel que soit /,
^-çi(;;) clz = m-:
celle de e/,
I z':i>{z) dz = a
et, par conséquent, celle de eiei' est a-.
Ces valeurs sont les mêmes pour toutes les valeurs de i, car 1 appréciation de l'erreur « craindre est supposée faite à l'avance: elle est relative aux instruments dont on dispose, aux méthodes employées et à l'habileté connue de l'observateur. Sa valeur n'a rien de fortuit.
L'expression (5) devient, en ayant égard au nombre des termes de chaque somme,
m- n{n — \)a- '^.na^ n n^ n
c'est-à-dire
La valeur probable du carré de l'erreur commise en prenant
r.iiAi". \. — i.\ iiii:oiui: im:s movc.nkf.s.
aSi
pour a la moyenne des erreurs lend donc vers zéro lorsque n augmente.
191. La moyenne d'un nombre de mesures de plus en plus grand convergera vers la valeur véritable augmentée de l'erreur constante a.
On aura en cfTet, en nommant x^^ ^To, . . . , :r« les évaluations
successives d'une même grandeur ;:; et f), <?o, . . ., e,i les erreurs
correspondantes,
x^ = z-^ ei,
X^ — Z -'r- Cil,
et, puisque la moyenne des erreurs diffère peu de a quand n est grand, la moyenne des valeurs de x différera peu àc z-\- a; et si a a été donné par l'étude préalable de l'instrument et de la méthode, en le retranchant de la moyenne, on aura une évaluation de la grandeur mesurée d'autant plus certaine que les mesures seront plus nombreuses.
L'erreur commise sera exactement
rt
la valeur probable de son carré est inversement (190) proportionnelle à n : on peut donc la regarder elle-même comme de
l'ordre —=•
La confiance méritée par la moyenne d'une série de mesures s'accroît comme la racine carrée de leur nombre.
192. Pour obtenir, dans un système donné d'observations, la valeur probable de la constante /n-, on fera une série de mesures Xi, X2, ••., x,i d'une grandeur bien connue à l'avance, ei, e-i, . . . , e„ étant les erreurs successivement commises, on pourra
2;)'2 CALCUL DES rROlUBILITÉS.
prendre
I/errcur à craindre en adoplanl celle éqiiallon sera d'aiilanl moindre que le nombre n des mesures sera plus grand. 11 faut, pour l'évaluer, chercher la valeur probable de
Posons
;''cp(^) ciz = h* ;
h sera une nouvelle constante liée à la perfection du système d'observation et, comme m, d'autant plus petite que le système de mesures sera meilleur.
h^ est la valeur probable de la quatrième puissance de l'erreur commise dans une observation.
On a
(7) = '«■ = -.i^^i -^ 5 ^Ci -+- m*.
La valeur probable de e] est Ii\ ([ucl que soit i] celle de e-^ est m- et celle de c'ief,^ par conséquent, m''. La valeur probable de (7) est, par conséquent,
c'est-à-dire
elle tend vers zéro lorsque n augmente.
193. Lorsque l'on étudie un instrument, si l'on ne peut pas faire disparaître les erreurs constantes, le premier soin doit être de déterminer l'erreur probable «5 elle sera retranchée de chaque résultat donné par l'instrument, la différence devenant l'évaluation acceptée.
(MAI-. \. — hA THI^:ORir: des Muvk^wks. Ijl)
La valeur de ///-, relative au\ mesures ainsi prises, est toujours plus petite qu'avant la correction; |)lus petite même que si, au lieu de retrancher a, on faisait une autre correction constante, quelle <[uY'lle lût. •
Lorsque z est remplace par (;: — a), la valeur probable du carré de l'erreur devient
/ iz — ay-'^{z)dz= j z^-'i{z)dz — -ia l zo(z)dz-^ai j ^(z)dz
et, à cause des équations
/ o{z)dz = i, / zo(z)dz = a,
r {z — ay-<i{z)dz=m'^—a-^,
»/oc
plus petite que ni-. Il n'y a pas à craindre que a- soit plus grand que m-, car le premier membre est essentiellement positif.
Si, au lieu de a, on retranchait de ;; une autre constante a, on aurait
f'^{z-ccr-o{z)dz
i'» X •» oc /• *
= / z'-o{z)dz — 'i'x l zo(z)dz^'x'^ i o{z)dz
J — OO 'J — 00 t/ — 30
plus grande que ni- — a-.
194. La valeur de m-, quand on la calcule, comme on doit le faire, après avoir corrigé chaque observation de sa partie constante, est la mesure du degré de confiance à accorder au système considéré.
Si ni- est petit, toute erreur qui n'est pas très petite en valeur absolue, a une probabilité très petite. La valeur probable du carré de l'erreur ne pourrait pas évidemment, sans cela, être très petite.
Si ni- est grand, on peut craindre de grandes erreurs: leur probabilité ne peut pas être petite.
La délcrnilnation do ni- est donc imporlanlc. La règle donnée la fait dépendre de l'équalion
et, pour connaître /;?, il faut, par conséquent, connaître d'abord les erreurs commises dans une série de mesures.
Si cette condition n'est pas remplie, on procédera comme on a fait (160) pour un problème semblable, ou, plus tôt, pour résoudre le même problème que nous avons déjà rencontré. Nous avions trouvé, en étudiant une loi de probabilité d'erreurs,
ef -+- ?? -f- . . . — e}, j
Cf, e.2j . . . , e,i étant les erreurs successivement commises. C'est précisément la même formule, démontrée de la même manière,
dans laquelle y-r^ représente l'intégrale
qui remplace
z-^'^{z)dz,
lorsque la probabilité d'une erreur ;, au lieu d'être 'f(-), est
Nous pourrons, comme nous l'avons fait (160), remplacer les erreurs <?i, ^o, . . ., e^, si elles ne sont pas connues, par leurs valeurs approchées, qui seront les différences entre chaque mesure et la moyenne, et l'on devra, comme il a été expliqué, remplacer après cette substitution le dénominateur n par n — i.
La démonstration, nous l'avons vu, suppose que l'on néglige un terme dont la petitesse nécessaire est très imparfaitement démontrée.
