CONCAVITÉ ET CONVEXITÉ. POINTS D'INFLEXION
100. On dit qu’une courbe ou plutôt une portion de courbe est concave relativement à un point de son plan, lorsque, si l’prî joint ce point à un point de celte partie de courbe et si l’on mène une tangente à ce point de la courbe, la portion de courbe est comprise entre la tangente et le point donné.
Si, au contraire, la tangente est comprise entre la portion de courbe et ce point, on dit que cette partie de courbe est convexe par rapport à ce point.
Or on trouve quelquefois des points de la courbe où la courbure change, c’est-à-dire tels, que, dans les points qui précèdent immédiatement, la tangente est, par exemple, au-dessus de la courbe, tandis qu’elle est au-dessous pour ceux qui suivent immédiatement. Ces points, qui sont évidemment des points singuliers de nature absolue , comme tous ceux que nous étudierons par la suite, s’appellent points d'inflexion.
Soient M {flg. 46) le point d’inflexion, NT la tangente au point N
a8o CHAPITRE SEPTIÈME.
placée au-dessus de la courbe comme nous l’avons supposé, IV T' •■'G- 49- ( la tangente en N' située au-des-
sous de la courbe ; on voit que la tangente MP au point d’inflexion sera intermédiaire entre ces deux portions, puisqu’elle sera au-dessous de la portion de courbe MN et au- dessus de MIS'.
Par conséquent, si l’on imagine le mouvement de la tangente de N en N', on voit que cette tangente en N ira rencontrer l’axe des -r en T, à gauche du point P, où MP coupe ce même axe. Quand la tangente se rapprochera du point M , le point T se rapprochera aussi du point P et finira par l’atteindre, mais ne pourra le dépasser. En elfet, quand le point de contact viendra de M en N', le point T' s’éloignera de P et repassera à g.tuche de ce point. Donc l’angle a que fait MP avec O x est l’angle maximum entre ceux que font les tangentes aux environs du point M.
On ferait voir absolument de la meme manière ( Jîg. 47 ) que si
la tangente est placée en IV au-dessus de la courbe, et au-dessous en N', l’angle «' que fait avec l’axe des x la tangente au point d’inflexion, est au contraire un minimum.
Mais, dans les deux cas, cet angle a est une limite au point d’inflexion, et il en sera de même pour le coefficient z de la tangente. En effet,
sin a
■ sin ( 9 — y.) ’
9 étant l’angle des axes : on a aussi
Fi C . 47- J
■JC
ll?L
sin 9 rot v. — cos 9
eu qui montre que, si a est maximum , cot a est minimum , ainsi que le dénominateur; donc z sera maximum en même temps que a. Même observation pour le minimum.
Cela posé , imaginons qu’entre l’équation
on ait éliminé y ; il restera une relation
que l’on pourra regarder eonime l’équation d’une courbe dont x serait l’abscisse et z l’ordonnée. On trouvera donc le maximum ou le minimum de z, comme on a trouvé ceux de/ : ce qui donnera les points d’inflexion. Il faudra donc chercher la dérivée de cette équation par rapport à x , et l'égaler à zéro {*).
( * ) Cela revient U
Du reste, nous verrons ( 102) que l’on peut quelquefois, par celte théorie, confondre un point d'inflexion avec un point do rebroussement de première espèce. . .
de la courbe donnée et la relation
ou bien , comme ou a ücjit
dr
il faut poser
comme on le voit par la relation
qui donne
