C.HAPITRK SU'TJh.M K

Il est clair que Tort pourrait aussi bien éliminer.» et avoir l’équation

sur la(|uellc on opérerait <le la même manière ; on choisira , de ces deux éliminations, celle qui donne le calcul le plus simple.

On peut encoi'e , si cela est plus avantageux, poser

ce qui fait souvent disparaître des facteurs communs dans X et dans Y.

Si la coui'be est donnée en coordonnées polaires, nous savons que, 6 étant l’angle que fait la tangente avec l’axe, on a

tang ( 6 —

et nous savons aussi que 6 sera un maximum on un minimum pour les points d’inflexion. A loi s il faut remplacer a par sa valeur en fonction de s>, et après celte élimination ,

y == tang 6 , x =. tang w

sei'ont les coordonnées de la courbe que l’on imagine pour trouver l’inflexion , en cherchant la limite de r.

Enfin , on conçoit qu'un point d’inflexion doit cire regardé comme la réunion de deux éléments , appartenant à chacune des deux portions de courbe , c’est-à-dire comme la réunion de trois points. Donc, pour qu’une courbe ait un point d’inflexion, il faut au moins qu’elle soit du troisième degré.

Comme application , nous allons chercher les points d’inflexion de la courbe dont nous nous sommes déjà occupés, et qui a pour équation

Nous remarquerons d’abord que l’origine est un point d’inflexion , car l’axe des x est tangent à l’origine, et la courbe passe au-dessus cl au-dessous de cet axe. Pour trouver les autn s points d’inflexion, posons

l'Équation do la courbe deviendra, on divisant par .r',

ensuite

en divisant haut et bas par x-, ou bien

( 2 ) 3 — t 7 = 2 tz •

Multiplions! équation ( 1 ) par z et l'équation ( 2 ) par ( , puis ajoutons : il vient , en supprimant zt 7 de part et d’autre et réduisant ,

cl enfin

(3) /' zt 7 — 3f z = o.

Pour trouver la limite de 3 , Égalons à zéro la dérivée de celte dernière équation par rapport à /, nous aurons

(4) „ " 3r , -f-2ti — 3 = o,

Transportons cette valeur dans l’équation (3) , on a ou bien

2 f’(r ! — 3) -t- 3(i — / ‘) = o, ce qui donne encore

Donc

t 3 = — 3 Ht y/ 1 2 ,

ou plutôt , comme t~'^> o, et que \ ta = 2 y 3, ou a

2&4 CHAP1TRK SKI'TlfcUE. *

et réquation (i donne

d’où

et = •

par conséquent,

ou enfin

De là on conclura

à peu près, et, comme on connaît déjà t, on trouvera aussi y et z. POINTS MULTIPLES. POINTS CONJUGUÉS.

101. On appelle point multiple un point où se réunissent deux ou plusieurs branches de la courbe : on peut en distinguer de deux especes , par intersection et par contact. Quand deux branches se coupent, c’est-à-dire quand elles ont au point de rencontre des tangentes différentes, il est facile, comme nous l’avons vu , de déterminer ces tangentes, et, par suite, d’avoir la marche des deux branches; mais quand ces branches se. louchent, c’est-àdire qu’elles ont la même tangente au point commun , il faut , pour suivre les directions des deux branches, donner à x et à y differentes valeurs aux environs du point multiple. On peut, ainsi vérifier, par exemple, si les deux branches sont du même côté de la tangente au point multiple, ou de côtés opposés.

On trouve quelquefois des points isolés qui font partie d’une courbe, c’est-à-dire dont les coordonnées satisfont à son équation. Ces points s’appellent des points conjugués ; voici comment on peut concevoir leur existence.

Imaginons une courbe dont l’équation contienne un certain nombre de coefficients , et supposons que cette courbe se cotn-

pose de deux parties dont l’une soit fermée ; ensuite admettons que, pour une valeur particulière donnée à un ou à plusieurs des coefficients de l’équation, cette portion fermée se réduise à un point , comme le cercle dont l’équation

qui ne représente plus qu’un point quand / =ro; on obtiendra alors un point conjugué.

Comme toute ligne passant par ce point pourra être considérée comme une tangente, on aura

et un point conjugué présente le caractère d'un point multiple ; mais ici il est clair que ^indétermination pour la direction de la tangente sera complète et réelle.

C’est ce que l’on peut observer pour la courbe dont l’équation générale est

ay 1 = x 3 — bx*.

Faisons comme cas particulier

il reste ce qui donne

Admettons que a soit positif, il est clair que y ne sera réel que si l’on pose

i o *ou xf> a.

Cependant x — o donne

donc l’origine est un point conjugué.

Dans ce cas, on a un point d'inflexion pour