SPIRALES

>0(5. On appelle ainsr les courbes qui font un nombre indéfini de circonvolutions autour (Pun point fixe. 11 en «xiste plusieurs espèces, mais nous n en considérerons que deux.

I. Spir.ai.e de Conon ou u‘ Archimède. — Une droite tourne avec une vitesse constante à partir de la position initiale OA et "du centre 0 [fis- 70) ; en même temps un point parti du centre O Fig. 70. se meut sur le rayon vecteur mobile avec

une vitesse aussi constante et décrit la spirale indiquée. ^

“ (On a supposé dans la figure un tel rapport eutre ces deux vitesses, que le point mobile vienne en A après une révolution.)

■* Pour construire la courbe par points, il suffit de diviser une longueur donnée en parties proportionnelles à un même nombre de divisions prises sur une circonférence de centre O et de rayon arbitraire , sauf à établir convenablement la proportion. D’ailleurs, le rayon vecteur étant proportionnel à rare*, l’équation de la courbe sera

Dans le cas de la figure; soit OA = r, on aura

a = r pour «1=271,

d’où

r= a. 2 7r et a

ce qui fait que l’équation devient

L'inclinaison de la tangente est toujours donnée par la relation

Mais l’équation donne

et il reste

tang(0 — w) = p — •

il « 1

lang (0 — «' = «,

THÉORIE DES COURBES PLANES. 3,t)

ru qui montre que OA est la tangente à l’origine. L’angle 0 — « •'tant toujours, comme on le sait, l’angle que fait la tangente avec le rayon vecteur, on a

tang (9 — w ) = t.

Il faut observer que la courbe ne part point brusquement «lu point O, parce que l’on doit aussi imaginer le mouvement opéré dans un autre sens, ce qui donne la courbe ponctuée.

II. Spirale logarithmique. — On appelle ainsi la courbe qui a pour équation

p = <i'\ ou bien = logp,

dans un système quelconque {Jîg. 71). Cette équation montre que F ‘C V- l’origine est un point asymptotique dont la courbe s’approche indéfiniment sans jamais le rencontrer, car 0 = 0 donne

« = — co .

l a construction par points est fondée sur ce que P accroissement de l’arc est proportionnel à celui du rayon vecteur, à partir d’un premier point une fois construit; en effet

dp ~ a’’. 1 a .dot — 1 a . p d<n.

et il est clair que pdu> est l’accroissement de l’arc.

Ensuite, l'angle 0 — «delà tangente avec le rayon vecteur étant toujours donné par la formule

remarquons que

ce qui donne

tang (0 — u ) = p . — — , dp

fi (û I dp f.\u

tang(0 — o.) = -i-;

I fl

par conséquent, la tangente fait un angle constant acre le rayon

vecteur, propriété très-importante et qui pourrait servir tle définition géométrique à la courbe.

Nous énoncerons encore ce théorème remarquable, que la développée d’une spirale logarithmique n’est autre chose que cette même spirale qui a tourné d’un certain angle en gardant le même pôle.

Enfin la spirale logarithmique sera encore la projection sur la base d’un cône droit, d’une hélice conique tracée sur ce cône, c’est-à-dire d'une courbe à double courbure faisant le même angle avec toutes les génératrices du cône.

107. Nous allons étudier encore quelques courbes transcendantes qui se rencontrent assez fréquemment.

Développante du cercls (fig. 72). — On voit, d’après le nom de cette ligne, que c’est la courbe obtenue en déroulant un fil à partir d’un point donné sur une circonférence.

Pour obtenir celte courbe par points, nous supposerons la circonférencediviséc en un certain nombre de parties égales, 1 2 par exemple, en prenant sur les tangentes correspondantes des longueurs égales aux portions de la circonférence.

Logarithmique ( fig. 78). — On appelle ainsi la courbe qui a pour équation

L’axe des y est asymptote du côte négatif, car x zez o donne

Fig. fi.

On peut chercher le rayon tle courbure au point A qui a pour coordonnées

y = 0 et

uonr cela, remarquons qur "an a, en général ,

f/jc J

THÉORIE l)KS COURBES PLANES. 3 î>.I

ce qui , pour x — 1 , donne

Ainsi , la tangente en A fait un angle de 45 degrés avec l’axe des .c.

Pour trouver la position C du centre de courbure sur la normale, on pourrait facilement, comme on l’a vu (103, VI), transporter l’origine en A et changer la direction des axes suivant les bissectrices. Mais ici il est plus simple de se reporter à la formule générale

on a déjà trouvé

ce qui donne

( 1 -+- y Y = : ensuite y" = — i ,

et, par suite.

Ici x — i ; ce qui donne

R =r a 3 =8 et R =

Soit donc

• AB = OA = i ;

devons jusqu’à la normale bissectrice la perpendiculaire BD = t , et prenons DG = AD , il est clair que AC = R. I.e cercle oscillateur passe au-dessus de la branche AR et sous la branche AS.

Sinusoïde \fig. ^4)- — C’est la courbe dont l’équation est Fi tî- 74- y = sinx.

Knsuite on a d'autres arceaux égaux à OAU', et qui sont alternativement placés au-dessus et au-dessous de 00'.

On trouve

tir

-= r =cos* ;

donc, au point O,

ce qui montre que les tangentes en O, O', ... , qui sont des points d’inflexion , sont inclinées à 45 degrés : pour les construire, il suffit donc de prendre