D'BB' = 4.D'DB

mais, en transposant le demi- arceau DÜB' dans la partie inférieure, on voit que

D'BB' = D'DBT.

Ainsi , le demi-arceau D' B' 1' est égal aux trois quarts du rectangle D'DB'I', qui a pour côtés 2 a et r a , et dont la surface est égale à o.~ a 1 : donc

- arceau = - r a- ,

ce qui fait voir que la surface d’an arceau de la cycloïde est trois fois celle du cercla générateur.

Quant à l’équation de la cycloïde, soit MGE = w, l’arc ME qui est égal à la droite OE r= ara, et soient MR — y, OR — >• , on

trouve facilément

. x — a (*> — sin w) et y — a (i — cos w j ?

d’où l’on tire

cos

al “ a

Nous indiquerons encore deux propriétés mécaniques de la cvcloïdc. .

Cette courbe, en la supposant renversée de manière que le sommet B soit au bas du diamètre supposé vertical, est la brachistoc/ironc, c’est-à-dire qu’un mobile pesant doit suivre une cycloïde pour descendre d’un point à un autre dans le plus court espace de temps.

Cette courbe est encore taulochrone ; ainsi , quel que soit le point de la cvcloïdc où l’on place un mobile pesant , il mettra le même temps pour descendre au sommet inférieur. ITuyghens avait clierché'à utiliseî cette propriété pour régulariser le mouvement des pendules dans les horloges.

II. On peut imaginer- qu’un point intérieur ou extérieur au cerclé' roulant , et attaché fixement à son ceqtre, tourne en même temps que ce centre ; alors il engendre une cycloïde raccourcie , ou bien une cycloïde allongée.

Les fig. 66 et 67 indiquent suffisamment la forme de ces

Fig. 6fi.

Fig. (jS.

3 1 G CHM'HHK SimilIC

courbes* aiiÿsi que la manière de les construire par points, et oiéine de trouver là tangente par le centre instantané .de rotation. - .

III. Epicyc.loïok. — ■ Si le cercle de rayon CO — r ( fît;. tjS ]

roule sans glisser, non plus sur line droite, mais slir un cercle de rayon OA = H, le point mobile partant du contact en O décrit une courbe qu’on appelle “ ëpicycloïde.

La figure montre coin - .ment on peut construire cette courbe par points-, et trouver la tangente par le centre instantané de rotation. *

a t ci iï

— / î , , : -!ÎCx

1 I., r Il

ji-iX

IV. Nous ne chercherons pas l’cquation générale de l’épicyeloïde, niais il est clair qu’elle est transcendante, carc’est ce qui a déjà lieu pour la cycloïde , qui pourtant est un cas particulier de l’épycicloîde, quand on suppose R = oc .

Cependant l’équation de l’épicycloïde est algébrique quand le • R

rapport — est commcnsuraolc .

Par- exemple, si r — R [fig. 69), soient A le point de départ . et M line position du mobile , de sorte que l’arc BM = BA ; soit donc w l’angle en O et par suite en C, il est clair que AM est parallèle à OC.

Soit aussi AM = p , ou voit que ccttc ligne est aussi divisée en deux parties égales, tic même que OC,

l it!, (il).

THÉO RL P. DF.S «LURRF.S PI.AÜtES.

parla tangente 1( m. Alors

p A JJ!

mais le triangle B()/« donne

• Om =z — i

et d'ailleurs

• A m = O lit — r = r

d’oil enfin

os 6> /

p = 2 r (i — cos 6>);

on reconnaît alors que cette épicycloïde n’est autre çhose que le troisième cas du limaçon de Pascal pour lequel

Seiîlement, la figffrc est renversée, et l’angle appelé u d’un côté est ifîo — 6> de l’autre, ce qui change le signe du cosinus.

On peut imaginer des épicycloïdes raccourcies ou allongées , comme pour les cycloïdes ; les deux premiers cas du limaçon de Pascal rentrent dans ces espèces de courbes.

V. Au lieu 'de faire rouler le cercle mobile à l’extérieur du

cercle fixe, on peut le faire rouler à l’intérieur, ce qui donnera encore d’autres espèces d’épicycloïdes. -

Nous considérerons .en particulier le cas dans lequel le cercle "mobile a un rayon moitié de celui du ■cercle fixe, circonstance à laquelle se rapporte un problème que nous avons traité sur les caustiques. 11 s’agissait alors de l’épicycloïde extérieure} mais si

r = -R, l’épicycloïde inté/icurfse réduit à une droite : dans le

même cas , les épicycloïdes raccourcies ou allongées intérieures deviennent des ellipses. Nous laissons anjecteurle soin de chercher la démonstration de ces énoncés.