CONSTRUCTION DES RACINES D’UNE ÉQUATION
108. I. On peut toujours obtenir les racines réelles d’une équation du quatrième ou troisième degré par l’intersection d’une parabole donnée et d’une circonférence.
Soit l’équation du quatrième degré, privée de son second terme, comme cela peut toujours se supposer,
( i ) •** -f* px 3 ■+■ r/x -f- r = o ,
et représentons par
(ss) .r' = aj
la parabole donnée, ce qui fait que l’équation (i) devient
(3) a'y-\-px'-\- qx +/•= o.
En multipliant l’équation ( 2 ) par le coefficient indéterminé X , et ajoutant avec l’équation ( 3 ), on a
(4) (P -1- )•) qx ■+- r= a Xy.
Si l’on pose
P + X = a\ ou X = a' — p t
cette équation deviendra celle d’une circonférence
ay{a} — p) =aiy'-ha'x , -h qx -+- r,
dont l’intersection avec la parabole déterminera les racines cherchées.
Quant à l’équation du troisième degré 4- px -f- q = o,
on y introduit une racine nulle, en multipliant par a: le premier
membre , ce qui donne «
x' + px 1 4 - qx = O ,
et l’on rentre ainsi dans le cas précédent.
Les problèmes qui ont pour objet de trouver le côté d’un cube double d’un cube donné, de diviser un angle donné en trois parties égalés, d’insérer deux moyennes géométriques entre deux droites données, se résolvent simplement par l’intersection d’une parabole donnée et d’un cercle, parce qu’ils conduisent à des équations du troisième degré. ’
IL La construction des courbes facilite beaucoup la résolution des équations transcendantes.
Soit en général
une équation quelconque, X étant l’ensemble des termes positifs et X' celui des termes négatifs, et posons
on aura
3aA chapitre septième.
pour tous les points dans lesquels y = y', c’est-à-dire que les racines de l’équation
seront données par les intersections des courbes qui ont pour équations
r = X et y — X'.
Considérons, par exemple, l’équation sinx -+- Ix = i,
que nous pouvons mettre sous la forme
1 x — (t — sinx) =o,
ce qui nous donne à construire les courbes représentées par les équations
y lx et y = 1 — sinx.
Ces courbes ne sont autre chose que la logarithmique et la sinusoïde, déjà traitées au n" 107 ; on voit ici combien *il est important de tracer les courbes avec exactitude , au moyen des tangentes et des rayons de courbure. Seulement, pour la sinusoïde, il faudra transporter l’origine à une distance égale à l’unité, et renverser la courbe, ce qui ne changera rien à sa forme.
La réunion de ces deux courbes {Jig. r t 5) fait donc connaître
les points A, A', A" qui correspondent aux trois racines de l’équation donnée; il n’en existe pas d’autres, car l’ordonnée de la sinusoïde ainsi placée ne peut s’élever au-dessus de y — 2 , et la logarithmique s’élève au-dessus de cette bande
qui contient la sinusoïde.
La première racine est donc comprise entre
jr
x = i et x = - :
THÉORIE DES COURBES El, ANES.
la seconde, entre
x — t et x — — r. ,
et la troisième, entre
— TT et X = 2 K.
Les racines étant donc séparées, on pourra appliquer à chacune d'elles un des procédés connus pour les approximations successives; c’est ce que nous allons faire pour la première.
Nous poserons
et l’cquation deviendra
r = i 4 - s , sin x -f- 1 x — i
parce que de meme
sin t •+- s cos i+f = i, coss i et siin = e;
pour s très-petit.
Nous pourrions développer
sin i = i —
cos = i —
mais il vaut mieux chercher l’expression a en degrés de l’angle tel, que le rapport de l’arc correspondant au rayon soit l’unité. Nous aurons donc
ce qui donne
En retranchant 10 des logarithmes trouvés dans la Table, on aura
L sin 1 = 1 ,9250394 et Lcos 1 = 1,7326362.
On en conclura
ou à peu près
* i ,54o3oa’
Pour avoir une nouvelle approximation , posons a = 1,1 et x — a -t- t'.
Afin d’introduire cette expression dans la formule, nous poserons
/ (a -f- e’) = l .a fi ^ = /a -4- / ^ ,
ou bien, comme
puisque s' est très-petit , nous aurons enfin
/ (a -4- t 1 ) = la H
Soit a! le nombre de degrés correspondant à l’angle ou à l’arc a, nous trouverons, comme ci-dessus,
ce qui donne
L sin « = i ,9499785 et L cos a = 1 ,6566706.
Quant à trouver la, nous remarquerons qu’il s’agit dans la formule de logarithmes hyperboliques. Il n’est pas nécessaire d’en avoir une Table, il suffit de connaître celui de to, qui est
et l’on aura
1 10 = 2,3 o 2585, la = La./ 10.
Comme on a
On a d’ailleurs trouvé
sin a = 0,891207 et cos« = 0 ,453597 ; d’où l’on tire
ce qui donne, à très-peu près,
On a, pour valeur de la première racine approchée un millième près,
On trouverait de même les autres racines.
On pourrait multiplier les exemples, mais celui-ci suffit pour montrer toute l’importance que présentent, au point de vue des 'calculs pratiques, certaines recherches telles que celles des points singuliers, des rayons de courbure. . ., qui ne semblent être d’abord que des objets de pure curiosité, mais qui sont indispensables pour déterminer la forme des courbes et donner une première solution graphique de certaines équations dont la discussion , purement analytique, serait assez, difficile. Cette solution géométrique a surtout l’avantage de prémunir contre les fautes de calcul , en mettant sous les yeux le résultat véritable que les approximations successives doivent préciser, mais dont elles ne peuvent jamais s’écarter.
