AXES PRINCIPAUX DES SECTIONS CONIQUES
109. I. Nous terminerons ces considérations sur les courbes planes en cherchant, dans le cas le plus général, la grandeur et la direction des axes principaux des courbes du second degré. Les ouvrages où l’on étudie ces courbes ne résolvent d’ordinaire cette question que dans le cas où les coordonnées primitives sont rectangulaires. Il peut être utile d’effectuer cette transformation , même en partant de coordonnées obliques. On sait d’ailleurs que la solution de ce problème donne immédiatement tous les autres éléments des courbes , tels que foyers, asymptotes, etc.
Prenons donc l’équation générale des sections coniques ( I ) ay 1 -+- bxy -+- c.r” -f- Ay -t- ex -t- f — O ,
l’angle des coordonnées étant représenté par 0 . Nous supposerons d’abord que la courbe a un centre dont les coordonnées sont x, ety, ; on sait alors que, si l’on change x en x-4-.r, et y en y +y,, pour transporter l’origine au centre, l'équation devient, avec ces nouvelles coordonnées parallèles aux premières,
( 2 ) , ay 1 -+- bxy ■+■ r.r' — H ,
en y joignant les relations
2 ae — bA x ' = ’
2 rd — be " ’ b 1 — 4 ar '
H = — /•— - (Ay, H- e.r,).
II. Nous allons donc appliquer à l’équation (2) les formules qui servent à passer d’un système oblique à un système rectangulaire. Nous supposerons que l'angle 0 des anciens axes est un angle aigu ; s’il en était autrement, nous changeiions y en — y, pour rentrer dans cette hypothèse. Les nouveaux axes font avec les anciens les angles a et a' = ç)0° -t- «, et nous choisirons, pour le nouvel axe des abscisses, celui dont la partie positive fait avec la partie positive de l’ancien l’angle a <^90°. (*).
En admettant ces suppositions, nous avons
X sin o -t- Y coxa X sin ( 6 — a) — Y cos (6 — a)
sin 6 ’ sin 0
formules dans lesquelles X et Y représentent les nouvelles coordonnées.
( * ) On prend pour parties positives des nouveaux axes les portions de ces lignes qui sont du même cêté que la partie positivo de l’ancien axe des ordonnées, relativement à l’ancien axe des abscisses, i’ar conséquent, v. et a' sont toujours plus petits que 1K0 degrés dans toutes les transformations de coordonnées.
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THÉORIE DES COURBES PLANES. 3?. y
Nous devons donc identifier avec l’équation la plus simple des coniques à centre ,
le développement obtenu en substituant dans l’équation (2) les valeurs précédentes de .r et y; nous déterminerons a ainsi que A J et B 1 .
Ce développement sera ' <isin s x I -I- c sin’ (9 — a
^ -r- 4 sin x sin (9 — x)
D abord, pour faire disparaître le rectangle XY, il faut égaler son coefficient à zéro, ce qui donne
( 5 ) A sin (S — 2 î)=c sin 2 (9 — a) — a sin 2 a ;
équation que l’on peut transformer de la manière suivante : soient 2(9 — a) = (9 — 2 a) + 5 et — 2a = ( 9 — 2a} — 9 , nous aurons, en divisant par sin (6 — 2a),
b — c cos 9 -+- c cot (9 — 2 a 1 -4 -a cos 9 — a cot (9 — 2a); d’où
( a -t- c ) cos 9 — b
X*-f- ?n sin a cos a
XY-*- a cos* a
— 2csin (0 — a)cos(0 — «)
c cos* (6 — a)
, j sin (0 — a) cos a
1 — cos ( 0 — a) sin a
— b cos a ( 0 — a)
cot (9 — 2 a) == •
— c) sin 9
relation qui est également vraie pour cot (9 — 2a) et pour cot (9 — 2 a').
Il sera facile de calculer la valeur de a : si cot (9 — 2 a) o, soit
0 — 1 a r=r tp ,
il vient
0 fb
si cot ( 0 — 2a) o y soit
H sin* 0.
quantité toujours plus petite que yo degrés. En effet, on a supposé 0 yo°, et ip est aussi aigu , puisque les Tables donnent toujours pour cet angle une valeur comprise entre o et yo degrés. D’après cela , on calculera le coefficient
ni ~
sin a
sin (9 — aj
dans l’équation Y = rnX du nouvel axe des abscisses; on aura de même, dans l’équation Y = m' \ du nouvel axe des ordonnées, le coefficient
puisque
sin(0 — a) cos(0 — a)
a' ~ yo” -+■ a.
III. Après avoir obtenu la direction des axes, il faut trouver leur grandeur. Posons
nous remarquerons d’abord que, si Ton change le signe de tous les termes de l’équation ( 2 ), on change aussi ceux de X et de X', mais non ceux de A 3 et de B 3 . Si donc les valeurs que nous trouvons pour A 3 et B 3 sont positives, la courbe sera une ellipse; si elles sont négatives, la courbe sera imaginaire; enfin, si A 3 et B J sont de signes contraires, nous aurons une hyperbole (*). Seule-
( * ) Nous laissons de cùté le cas où l’on aurait H = o. Alors il n’y a pas besoin de calculs, et l’équation (2) devient
am % 4- mb 4- c = o, jr
en posant m = - ; il en résulte
— b±zsJbrZJac
Par conséquent, la courbe se réduit h un point, qui est l’origine, si b* — t\ ac < o ; à deux droites passant par l’origine si b x — \ ac > o ; enün , ces droites se réduisent à une seule si - !\ac =0; mais ceci rentre dans le cas des paraboles, que nous étudierons plus loin.
ment, il n’y a pas de raison pour que les foyers se trouvent sur l’axe des abscisses plutôt que sur celui des ordonnées.
Nous verrons bientôt que A 3 et B 3 sont de même signe ou de signe contraire, suivant que l’on a
ô 1 — 4 <ïc<°,
mais nous nous contenterons d’énoncer le résultat suivant : soit
P 3 =[ ô — (a -t- c)cos 0 ] 3 -h (a — c) 1 sin ’0 = [(a + c) — ôcos 0 ] 3 4 -(ô 3 — \ ac ) sin*®
= (a — c) 5 4-(ô — a a cos 0 ) ( b — 2 c cos 0) ;
les deux valeurs de m sont
et celles de X sont
a — c± P b — in cos O ’
a 4- c — b cos 0 rt P 2 sin 3 0
en prenant de pan et d'autre le même signe pour le radical. Les valeurs de X que nous allons obtenir sont plus faciles à calculer par logarithmes.
En identifiant les équations ( 3 ) et ( 4 ), on trouve
a sin’a 4- c sin 3 (0 — a) 4- b sina sin(0 — a) 1
~ h sin 1 0 ~ Â 1 *
ou bien
Xsin 3 0 = a sin’a 4-csin 3 (0 — a) 4- b sina sin(0 — a).
Mais l’équation ( 5 ) donne
, c sin 2(0 — a) — a sin 2 a
sin (0 — 2 a)
et la valeur de X sin 3 0 se décomposera en deux parties, dont l’une aura le facteur a et l’autre le facteur c; la première sera
2 cos a sin ( 0 — a)~| — a sin 3 a sin 0 sin (0— 2 a) J sin(0 — 2 a)
a sin 1
33 a CHAP1TUF. SEPTIEME.
De même la seconde sera
ce qui donne
il)
c sin 3 (0 — a) sin 6 sin (0 — 2a)
^ c sin 1 f 0 — a) — a sin’ a
On aura de même
sin 0 sin (0 — 2 a)
a cos 3 a — c cos 3 (9 — a ) sin 0 sin (G — 2a J ’
soit en opérant directement sur le coefficient de Y', comme on vient de le faire sur celui de X*, soit en changeant dans l’équation (7) a en a! — çjo” -f- a, et réduisant.
On peut transformer l'expression de >. en posant
c sin 3 (0 — a) — a sin 3 a = a [sin’(G — a) — sin 3 a) -H (c — a) sin 3 (0 — a).
et en observant que
sin 3 (0 — a) — sin 3 a
est égal à
[sin(0 — a) — sina] [sin(0 — a) -f- sina] = sinG sin(0 — 2a). Alors l’équation (7) devient
sin 0 sm(0 — 2a)
Mais on peut aussi poser
c sin 3 (0 — a) — a sin 3 a = c [sin 3 (0 — a) — sin 3 a]
-f- (c — a) sin-'a,
, . , [c — a 1 sin 3 a
sm 0 sin (0 — 2 a)
De même l’équation (8) se transformera dans les expressions suivantes :
(c — a ) cos 3 (0 — a) sin 0 sin (0 — 2 a)
ou bien
/ I (c — a) COS 2 a
sin 0 sm (0 — 2 a)
En résumé, on trouve a par l’équation 6), X par les équat ions (9) ou (to), et X' par les équations (i 1) ou (12), sauf dans quelques circonstances que nous allons examiner (* }.
IV. Cas particuliers. — i°. Les expressions précédentes de X et de X' deviennent indéterminées si l’on a
ce qui donne
sin (0 • — 2 a) = o ,
comme on peut le voir par l’équation (6). On a donc
ou bien
Par conséquent
(*) En ajoutant les coefficients de X s et de V* dans l'équation (/j), trouve
(X -H /' ) sin* 6 = a c — cos 0.
Retranchant l'equation (u) de l’équation ( 9 ), 011 a
sin 0 sin {0 — 2 «)
Observant que
s Tiï’(V-2«) ==, + cot,(s - 2 *)’
substituant d'après l’équation ( 6 ) et réduisant, on trouve
ce qui justifie ce que nous avons dit relativement h l’influence du signe de 4 ne — h* sur ceux de A* et de R*.
ce qui donne de meme
sin (fl — a)
COS a
cos (S — a)
Observons ensuite que l’équation (6) donne
r — a b — (a -t- c) cos 6
sin (0 — 2 a) sin 0 cos (0 — 2 a)’
et l’expression (g) devient
sin’ (0 — a) [6 — (fl H- e) cos 6]
Si maintenant nous avons
sin 3 0 cos (0 — 2 a)
c = a , 0 = 2 a et 0 — a =r a ,
il reste
b — 2 a (cos 3 a — sin 3 a) 4 cos 3 a
ou bien (.3)
On aura de même
2 fl -+- b
4 cos 3 -
2 fl — b
4 sin 3 - ^ 2
2 a -h b 4 cos 3 a
2 °. La relation (6) nous fait voir encore que, si l’on a b = (a -b c) cos 0,
il en résulte
cos (.0 — 2 a) = o.
On pourrait poser
0 — 2 a — go°,
c’est-à-dire
0 = go" -H 2 a ;
mais comme nous avons supposé, en commençant, que 0 était aigu,
nous prendrons ce qui donne
S — 2 a = — go°,
D’ailleurs
donc
d’où
a — 4 5 ° H et a' = 1 35 ” H — •
6 — a — a — qo° ; sin(ô — “) = — cos a ,
tang - -+- tang 45 ~0
tang - tang 45 — i
m = — tang a =s Or
et l’on trouve
tang 45 ° = i.
On aura de même
i H- tang -
tang - — r
cos « ,an e â ~ *
tang - -+- i
cos ( 0 — a)
Ensuite, ajoutons les deux expressions (9) et (10) j nous rons, à cause de
sin(0 a) = — cos a et de sin(0 — 2a ) = — 1, la relation
au-
sin 0
Les expressions (1 1) et (12) donneront de même
sin 8
3 ”. Knfin , si l'on u à lu fois
a = c et b = (a c) cos 8, ce qui devient alors
b = 2 o cos 0,
la direction des axes est réellement indéterminée, parce que la courbe est .une circonférence. Kn effet, l’cquation (2) se réduit alors à
y' 1 -t- 2 xy cos 0 x‘ — — ,
, ..... . Il
et représente un cercle reel ou imaginaire, suivant que — est
positif ou négatif; le rayon est
V. Coordonnées rectangulaires. — Si maintenant les coordonnées primitives sont rectangulaires, il suffit de poser dans toutes les formules précédentes
Alors l’équation (6) devient
('7 ) tang 2 a = •
Nous avons ensuite, à cause de la formule connue
tang a = — cot 2. a ± y 1 + cot 1 2 a ,
et en remarquant que in = tanga est positif, puisque l’angle a est aigu ,
ce qui donne
On aura de même
Pour obtenir À , ajoutons les équations (9) et (10); nous avons,
— \j 1 -c JBOt* 2 a — eot ! a ,
à cause de 0 = 90°,
co s 2 a
Mais l’équation (17) donne
on a donc (20)
COS 2 a SlD 2 a
sin 2 a
Les équations (1 1) et (12) font trouver de même
2 \ - — rt — f— c —
Enfin, l’égalité
— = t/ 1 -f- cot* 2 a,
cm o M
Sin 2 a
où sin 2 et o puisque a go”, donnera
(22) et
2l=fl + C +
‘vMt-*)’
Le cas particulier oùc = « donne ici
m — 1 , m' — — i ; d’ailleurs l’égalité (17) montre que a = 45 ”,
c’est-à-dire que les nouveaux axes sont les bissectrices des anciens. Comme alors
sin 2 a =1,
les expressions (20) et(2i) deviennent
2I =:îd + 4 et 2 V = 2 a — h , comme on pourrait aussi le conclure des équations (1 3 ) et (i 4 ).
Le second cas particulier que nous avons considéré revient à 0 = o pour S = cjo° ;
niais alors il n’y a pas de calcul à faire, car les axes donnés sont justement ceux que l’on cherche, puisque l’équation
ajr* -4- c.r’ = H ,
relative à des axes rectangulaires , présente la forme que l’on veut obtenir : d’ailleurs il reste alors, d’après les équations (i5) et ( 16 ),
VI. Paraboles. — Supposons maintenant que la courbe représentée par l’équation ( i ) n’ait pas décentré, ce qui arrive quand
b ’ — 4 ne = o.
L’angle des coordonnées primitives étant quelconque et égal à 0, cherchons des cordonnées rectangulaires pour lesquelles l’équation de cette courbe soit de la forme
( 24 ) y j = 4 fx.
Mais il faut ici changer l’origine des coordonnées et poser
X sin a -f- Y cosa
(*) L’équation cherchée
devient ici
«X*-hcY*= II,
c’est-à-dire qu’on a changé x en Y et.r en X. Cette permutation , qui est évidemment inutile dans ce cas particulier, tient à ce que l’on a fait usage des formules (i5) et (16) qui supposent, comme on l’a dit en commençant, 0 < 90 0 , ce qui a donné, dans cette circonstance ,
sin (6 — 2 a) » — i.
Ici , en effet , la relation donne
y. — — qo° pour 0 =. 90 0 .
THÉORIE DES COURRFS PI.AKFS.
et
X sin ( 0 — a ) — - Y cos (0 — a )
SUl 0
Pour abréger les calculs, nous rappellerons qu'on sait d’avance que la nouvelle origine est un point de la courbe, et que le nouvel axe des abscisses est un diamètre. Seulement, comme l’angle a est déterminé par cette condition, on conçoit que cet angle, formé par la direction positive de cet axe avec la partie positive de l’ancien axe des abscisses, n’est pas toujours un angle aigu comme dans le cas des courbes à centre. Maintenant aussi l’angle 0 pourra être indifféremment aigu ou obtus. Du reste, il n’y a pas de raison pour que cette direction positive de l’axe des X aille du sommet au foyer, comme dans la position ordinaire de la parabole, ou bien en sens contraire; cela dépendra du signe de F.
11 est impossible, à cause de la relation
b' — 4 oc = o,
que les coefficients des carrés des coordonnées soient nuis tous deux dans l’équation (i); en effet, on aurait alors à la fois
c’est-à-dire que la courbe ne serait plus du second degré.
Nous devons donc supposer que l’un de ces coefficients, o par exemple, n’est jamais nid, sauf à changer, s’il le faut, x en y et réciproquement. Divisant alors toute l’équation par a, après
remplacé c par cette équation deviendra
avoir rer
Le nouvel axe des abscisses étant un diamctie, son équation sera de la forme
B étant une quantité qu’il faudra déterminer, u nous devons poser
sina b , t sin (0 — a) a n *■ '
Or les formules «le transformation nous donnent
v H x — y H x ■ I sin a H sin I 9 — a ) I
