MULTIPLICATION

113 . I. Quand on multiplie deux nombres décimaux par la méthode ordinaire, les dernières décimales, celles qui ne doivent pas être conservées dans les calculs d’approximation , parce qu’elles sont inutiles ou inexactes, sont celles qu’on obtient les premières ; on est donc forcé ainsi d’écrire plusieurs chiffres qui ne servent à rien. Voici la règle due à Oughtred pour faire la

C1IAPITBK UUlTlillK.

multiplication sans écrire au produit plus de chiffres qu’on n'en veut calculer.

Cette règle est connue sous le nom de multiplication abrégée.

Si nous cherchons à o.oooi près le produit des deux nombres 763,05403678956 et 25,4463o578, pour éviter le calcul du produit exact, qui serait 1 94 16, 9063468085 1 327 1 6588 , observons d’abord qu’il faut calculer les cent-millièmes , afin d’avoir les dix-millièmes.

Ensuite, écrivez le chiffre des unités du multiplicateur sous celui des chiffres du multiplicande que l’on veut calculer le dernier au produit , et renversez a droite et à gauche les chiffres du multiplicateur. Dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, négligez les chiffres du multiplicande restés h droite, parce qu’ils donneraient des unités d'un ordre inferieur.

Voici comment on dispose le calcul :

De cette façon , chaque chiffre du multiplicande donnera des cent-millièmes avec le chiffre qui lui est verticalement inférieur dans le multiplicateur : voilà pourquoi, dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, on doit négliger les chiffres du multiplicande laissés à droite, puisqu’ils donneraient des millionièmes et des quantités plus petites.

Cependant il faudra conserver tes retenues que chaque chiffre

APPROXIMATIONS NUMKR1QUKS. 353

pourra donner avec la partie négligée du multiplicande , car les retenues des millionièmes sont des cent-millièmes. Il faut meme forcer le chiffre de cette retenue, s’il est suivi d’un 5 ou d’un chiffre plus considérable.

Par exemple, si nous considérons le premier chiffre 2 du multiplicateur, nous verrons facilement qu’il donne le chiffre i pour retenue avec la partie négligée 78956 du multiplicande, mais que ce chiffre serait suivi d’un autre au moins égal à 5 ; on doit donc prendre 2 pour retenue et l’ajouter au produit de 6 par 2, ce qui fait i/f- On opère toujours de même; mais il suffit d'ordinaire de considérer le premier des chiffres négligés au multiplicande pour avoir ces retenues, que l’on appelle retenues supplémentaires.

Enfin, le chiffre 8 du multiplicateur donne lui-incmc un produit, quoiqu’il n’ait pas de chiffre au-dessus de lui dans le multiplicande , mais sa retenue supplémentaire, qui est 6, doit figurer au produit; seulement, s’il y avait des chiffres à la gauche de 8 dans le multiplicateur renversé , on les négligerait complètement.

Le produit approché est donc 19416,90634, ou plutôt, en supprimant le dernier chiffre dont on n’est pas sûr, on trouve 19416,9063, avec l’approximation demandée, qui est 0,0001.

II. Il peut arriver que le multiplicateur n’ait pas de chiffres entiers; alors on remplace par un zéro le chiffre des unités, pour garder sa place.

La règle énoncée ci-dessus peut encore s’exprimer ainsi :

Mettez les plus hautes unités de l'un des facteurs en ligne verticale avec celui des chiffres de l'autre f acteur qui, multiplié par ces unités, donne le chiffre de l’ordre qu’on vent calculer, puis renversez les chiffres du multiplicateur à droite et a gauche.

Il est clair que, si la condition pour l’ordre du dernier chiffre du produit est remplie quand on considère, par exemple, les plus hautes unités du multiplicande comparées au chiffre correspondant du multiplicateur, elle sera également remplie si l’on considère les plus hautes unités du multiplicateur comparées au chiffre correspondant du multiplicande. On conclut de là que l’on ne change rien à l’approximation du produit en intervertissant l’ordre

des facteurs, pourvu <|u’on cherche toujours à calculer le meme ordre de décimales. On pourra néanmoins trouver quelque différence dans le dernier chiffre, qui dépend de la manière dont se disposent les retenues supplémentaires, et qui, du reste, doit être effacé comme incertain, sauf à forcer, s’il y a lien, le dernier chiffre conservé.

Voici comment on peut vérifier le produit déjà obtenu, en intervertissant l’ordre des facteurs et suivant toujours la même règle.

Ce nouveau produit ne diffère du précédent que par le dernier chiffre, qui est un 5 , au lieu d’un 4 -

III. Ce dernier chiffre, que l’on calcule pour l'effacer ensuite, peut quelquefois être exact, mais souvent aussi il est trop grand ou trop petit quand les erreurs des produits partiels sont de même sens et s’ajoutent par conséquent. Après avoir forcé plusieurs retenues supplémentaires, on néglige quelquefois d’en forcer d’autres, pour ne pas avoir trop de nombres en excès.

Du reste, l’erreur de chaque produit partiel étant plus petite que o,ooooo 5 (dans l’exemple précédent), il faudrait qu’elle fût multipliée par un nombre plus grand que 20, pour égaler 0,0001 et atteindre, par conséquent, le chiffre ^es dix-millièmes que l’on veut conserver.

On obtient donc le résultat suivant, analogue à celui que nous avons trouvé pour l’addition :

APPROXIMATIONS NUMKRIQUK.S.

S'il n’y a pas plus de vingt produits partiels, il suffit de calculer un chiffre de plus qu’on n’en veut conserver; sinon il en faudrait deux de plus.

On voit d’ailleurs que le nombre des produits partiels peut être inférieur à eelui des chiffres du multiplicateur. C’est ce qui a lieu dans la dernière opération (II), où les chiffres 65g8, placés à la gauche du multiplicateur renversé, ne servent à rien dans le produit (*).

IV. Nous rappellerons encore que le procédé de la multiplication abrégée n’empêche nullement l’usage de la simplification employée dans les calculs où l’on a beaucoup de nombres à multiplier successivement par un même facteur, et qui consiste à former d’avance le produit de ce multiplicande constant par les neuf chiffres ; il suffira de prendre pour chaque chiffre multiplicateur la partie seule qui lui correspond d’après son rang, sauf à tenir compte du reste du produit pour la retenue supplémentaire. C’est ce que nous avons fait (48) en calculant les Tables de logarithmes; le multiplicande constant était le module.

V. On comprend que les facteurs donnés ne permettent pas toujours de trouver le produit avec toute l’approximation que l’on pourrait désirer. Il faut donc chercher à déduire du procédé même de la multiplication abrégée l’approximation dont le produit est susceptible.

Nous commencerons par indiquer les signes auxquels on reconnaît qu’il est impossible d’obtenir toute l’approximation demandée.

Supposons qu’on veuille calculer les centièmes dans le produit de 345,6738 par 3754,8a. D’après la règle d’Onghtred, il faudra écrire les nombres de la manière suivante :

(”) Le produit de deux factîurs est généralement plus approché quand les erreurs de chacun d’eux sont de sens opposé ; car elles exercent alors des influences contraires sur la grandeur du produit.

Mais l’opération étant ainsi préparée, et chaque chiffre du multiplicateur renversé donnant des centièmes par son produit avec celui des chiffres du multiplicande qui le surmonte, on conçoit que, si le 3 qui termine ce multiplicateur renversé avaituin chiffre au-dessus de lui, leur produit donnerait aussi des centièmes, et que, ce chiffre manquant dans le multiplicande, le produit manquera aussi des centièmes qui s’y seraient trouvés si l’on avait connu dans le multiplicande le chiffre qui suit le 8. Par conséquent, on ne pourra pas calculer tous les centièmes, parce que le multiplicateur renversé dépasse à droite le multiplicande.

De plus, s’il y avait au multiplicateur renversé, deux chiffres avant le a, ces chiffres donneraient encore, avec le 4 et le 3 qui les surmontent, des centièmes qui manqueront au produit. Par conséquent , on ne pourra pas non plus calculer tous les centièmes, parce que le multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé.

Dans l’exemple que nous avons pris . les deux conditions d’insuccès se trouvent réunies; mais il est évident qu’une seule suffirait pour empêcher d’obtenir l'approximation demandée. De là nous concluons la règle suivante, qui ne s’applique pas aux facteurs c.racts, où il est clair qu’on peut remplacer les chiffres manquants par des zéros.

Les deux facteurs étant disposés suivant la règle d’Oughtrcd , il est impossible d'obtenir l’approximation demandée :

1 °. Lorsque le multiplicateur renversé dépasse h droite le multiplicande, supposé inexact ;

2 °. Lorsque le. multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé, supposé inexact.

Quand l'une de ces deux circonstances ou toutes deux se présentent, il faut reculer vers la gauche le multiplicateur renversé jusqu’à ce qu'il n’en soit plus ainsi. La nouvelle disposition qui en résulte détermine l’approximation possible.

VI. On voit donc que la disposition la plus avantageuse parmi toutes colles qui sont permises, c’est-à-dire celle qui donne toute l’approximation que l'on peut obtenir, est celle qui réalise les con-

APPROXIMATIONS NUMERIQUES- 3 5 J

ditions précédentes, mais de manière que, si l'on faisait avancer (f un seul rang vers la droite le multiplicateur renversé, l'une des conditions cesserait d'être satisfaite. Ainsi, pour l’exemple déjà traité (I et II), la disposition la plus avantageuse aurait consisté à avancer d’un rang vers la droite le multiplicateur renversé, ce qui aurait permis de calculer les millionièmes. On peut donc établir le principe fondamental suivant :

V erreur du produit est le plus grand des deux produits obtenus en multipliant les plus hautes unités de l'un des facteurs par les plus basses unités de Üautre.

Pour reconnaître V approximation que l'on doit donner aux. facteurs, connaissant celle du produit, il faut donc employer la seconde expression de la règle d’Oughtred (II) et chercher la manière la plus avantageuse de satisfaire aux conditions indiquées.

Dans l’exemple où nous avons reconnu l’impossibilité de calculer les centièmes, il faut, pour obtenir toute l’approximation possible, reculer de deux rangs le multiplicateur renversé, ce qui donne, en calculant les unités simples,

Ainsi le produit obtenu , à une dizaine près, mais réellement exact jusqu’aux unités simples , sera 1297943, tandis que le produit exact serait 1297942,897716.

Si nous voulions calculer les centièmes dans ce même exemple, la disposition indiquée pour cela (V) montre qu’il faudrait connaître les dix-millièmes du multiplicande et aussi les dix-millièmes du multiplicateur, pour ne plus laisser de vide ni à droite ni à

gauche. Alors le multiplicande et le multiplicateur renversé se recouvriraient exactement.

VII. On pourrait avoir quelques doutes sur les résultats que nous venons d’obtenir relativement aux erreurs des facteurs et du produit, parce qu’ils semblent dépendre du procédé de la multiplication abrégée; mais il est facile de parvenir aux mêmes résultats indépendamment de tout procédé de calcul.

Soient A et B deux valeurs approchées avec les erreurs 3 et 3' qui peuvent être positives ou négatives. Le produit réel sera

(A -t- 3')(B-t- 3) = AB H- B3 + A3' 4- SS',

tandis que le produit approché sera AB. Donc l’erreur du produit sera

en négligeant 33 1 qui sera évidemment d’un ordre d’unités inférieur à celui de B 3 et A 3'.

Supposons, par exemple, que B 3 soit lu pius grande des deux quantités B 3 et A3', c’est-à-dire le plus grand des produits que Ton obtient en multipliant les plus hautes unités de chaque facteur par tes plus basses de l'autre. D’après ce que l’on a vu (410, VI), l’erreur du produit sera représentée par B 3. C’est le principe fondamental déjà établi (VI).

Il faut bien comprendre que cette relation

n’est pas une véritable égalité, mais veut seulement dire que £ et B 3 sont du même ordre de grandeur.

VIII. La même théorie s’étendra sans difficulté au produit de trois ou de plusieurs facteurs.

Dans le produit ( A -t- 3) (B -t- 3') (C -f- 3") de trois facteurs dont A, B, C indiquent les valeurs approchées, et 3, 3', 3" les parties que l’on néglige ou que l’on ne connaît pas, l’erreur sera représentée par

AB 3" ■+■ ACS'-h BC3,

en négligeant non-seulement 33' 3", mais encore A 3"3', B33"et

approximations numériques. 35g

Cââ', produits qui seront évidemment d’un ordre inférieur à celui de la plus grande des trois quantités dont nous avons fait la somme. Soit, par exemple, ABÆ" cette quantité maximum ; elle sera prise pour mesure de l’erreur qui sera ainsi représentée par le plus grand des trois produits que l’on obtient en multipliant deux des facteurs approchés par l'erreur de l'autre.

On voit, d’après cela, comment s’obtiendrait la règle suivante pour le produit de m facteurs :

L’erreur du produit sera représentée par m fois le plus grand des produits que l’on obtient en multipliant m — t facteurs par l’erreur de celui qui reste, c’est-à-dire les plus hautes unités de m — 1 facteurs par les plus basses de celui qui reste.

Ppur plus de sûreté nous multiplions par m , quoique nous n’ayons point multiplié par 2 ou par 3, quand il ne s’agissait que de deux ou trois facteurs ; mais si ni était considérable, le nombre des produits pourrait élever l’ordre des unités que l’on néglige. En effet, les quantités dont la somme représente l’erreur sont en nombre m ; cardans chacune de ces quantités il n’entre que l’erreur d’un seul facteur: c’est ainsi que les quantités ABÆ", AC 3 \ BCiî étaient au nombre de trois.

IX. Comme application de ce qui vient d’ètre dit sur le produit de trois facteurs, nous rappellerons le problème déjà traité (67, IV] sur la correction d’une hauteur barométrique.

Cette correction est donnée par le produit

Le plus grand des trois produits dont se compose l’erreur est évidemment celui de o,oooi6i458 par 76,3 et par l’erreur de 18,7. Pour plus de sûreté, nous remplacerons 76,3 par 80, cl o ,oooi6i458 par o ,0002 ; quant à l’erreur de 18,7, nous la supposerons égale à la moitié de la dernière unité décimale, c’est-àdire à o,o5. Ce produit maximum est donc

8o.o,ooo2.o,o5 = 0,0008 <((0,001.

Ainsi la correction cherchée sera approchée à un millième près.

Il faut donc calculer les dix -millièmes en multipliant o,oooi6i458

par le produit de 76,3 et dei8,7, qui est 1426,81'.

Voici le tableau de la multiplication abrégée :

o,oooi6i458 1 862.4 1

O , 23oq

En effaçant le chiffre des dix-millièmes, il reste pour correction — 0,23, et la hauteur observée étant 76,3, la hauteur corrigée sera 76,07, valeur exacte à un centième et meme à un millième près de centimètre , puisque 0,23 est suivi d’un zéro; cela fait donc 1 centième de millimètre (*).

X. Voici enfin une remarque qui s’applique, non-seulement à la multiplication , mais aussi à toutes les opérations approximatives.

Si un nombre entier ou fractionnaire est exactement connu, son erreur S doit être posée égale à zéro, à moins qu’on ne croie pouvoir sans inconvénient supprimer quelques chiffres à la droite

(■) On peut demander l’erreur relative correspondante (III, V). Cette

erreur sera un peu plus grande que — 1 — , car la valeur 76,07 est

un peu trop grande, puisque la correction négative — o,a 3 a été prise en défaut. Cependant , comme 76, qui conviendrait pour cette évaluation, est assez près do 100 , on a une idée un peu exagérée , mais assez juste , de l’approximation relative en la considérant comme égale à — - — .

II ne faut pas oublier que tout cela exige une con6ance complète dans la bonté des instruments, l’adresse des observateurs et la détermination des coefficients de dilatation.

APPROXIMATIONS NUMERIQUES

de ce nombre. Mais on commettrait une faute très-grave si l’on considérait comme nuiles les erreurs de certains résultats qui sont donnés avec peu de décimales ou même sans décimales , car cette simplicité apparente peut bien ne tenir qu’à l’imperfection nécessaire des moyens d’observation et d’expérience. Ainsi , dans l’exemple ci-dessus, en posant la température égale à i 8",7, il ne s’agissait pas d’une rigueur mathématique, mais cela voulait dire que les fractions inférieures à un dixième de degré étaient trop petites pour se lire sur la règle et même sur le vernier.