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de ioo, c est-a-dire entre et , ou bien entre

i ooon i oooo i ooo

APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

" Tôô’ nials > l' 0l,r f I ue cet, ° erreur soit la plus petite possible,

nous chercherons l’approximation absolue à un millième près.

Le raisonnement serait le même si la quantité que l’on considère était plus petite que l’unité. Par exemple, si elle est comprise entre o, t eto,oi, en exigeant toujours que l’approximation relative soit obtenue à un dix-millième près , l’erreur sera com- 0,1 o,oi . .

prise entre . et . Ainsi , pour que cette erreur soit la

i oooo 1O000 >11

plus peiite possible, nous la représenterons par ° ’° * - e’est-à-

i oooo

dire que nous la calculerons à un millionième près.

F.n général, si l’on demande l’approximation relative, à — — de

îo 1

sa valeur, d’une quantité comprise entre io* et to* +l , l'approximation absolue sera indiquée par

Si la quantité est plus petite que l’unité, a est négatif.

IV. La quantité A, dont on cherche l’approximation relative r

à — - près de sa valeur, de sorte que /• = — , est souvent donnée IO P 10 ’

entre des limites plus resserrees que io* et io v M . Soient A' et A"(ces limites, de sorte que A'< A < A" ; l’erreur absolue a

devant donc être comprise entre et ---r, on cherchera la

î o ; ‘ io ’

quantité A avec une approximation marquée par la plus petite

de ces quantités, c’est- à dire par a = — -, ou bien a — A'r.

V. D’après ces préliminaires , nous supposerons toujours dorénavant que toutes les questions d’approximation relative sont ramenées à des questions d’approximation absolue. Cependant, il faut aussi résoudre le problème inverse, c'est-à-dire : Connais-

saut l'approximation absolue d'une quantité, trouver l’approximation relative. D'après ce que l'on a vu , et d’après la définition même , V erreur relative r est égale à l’erreur absolue a divisée par

le nombre A. Par conséquent, r sera compris entre — -• et

A' et A" étant toujours deux nombres qui comprennent A. Pour ne pas supposer dans r plus de précision qu’on ne le doit, il faut prendre la plus petite expression de A, qui est A'.

112. Nous allons maintenant passer en revue les opérations élémentaires de l’arithmétique, et voir quelles simplifications les méthodes d’approximation peuvent y apporter.

ADDITIOX ET SOUSTRACTIOX.

I. Si les erreurs des quantités que l’on ajoute sont dans le même sens, elles s’ajoutent elles- mêmes, et c’est ce que l’on suppose généralement pour prendre le cas le plus défavorable. Nous indiquerons par l’erreur de chacune des m quantités que l’on additionne, si toutes ces erreurs sont égales (ou, pour mieux dire, si elles sont du même ordre) ; mais, si elles sont d’ordres différents, 5 sera la plus grande, et la somme des erreurs ou l’erreur de la somme sera représentée par e = ai S.

Si l’approximation t de la somme est exigée d’avance, on devra

calculer, pour chacune des quantités à «jouter, o (5 — •

II. On a vu (HO, 11) qu’il fallait calculer le résultat d’une opération quelconque avec un chiffre de plus tpi’on n’en voulait conserver ; mais il pourra se faire, s’il y a beaucoup de nombres à ajouter, qu’on doive calculer deux chiffres de plus, ou même davantage. Supposons, pour fixer les idées, qu’on demande la somme à un millième près ; on devra donc calculer le chiffre des dix-millièmes dans la somme, et, par suite, dans chacun des nombres à ajouter, en négligeant seulement les cent-millièmes. Mais s’il faut additionner beaucoup de nombres, il pourra se, faire que les retenues des cent-millièmes ainsi négligés affectent non-seulement le chiffre des dix-millièmes , mais celui des mil-

APPROXIMATIONS NUMERIQUES

lièmes que l’on veut conserver. Or, dans chacun des nombres que l'on ajoute, l’erreur est représentée, comme on l’a vu ( 110 , IV), par 0,00000; il faudrait donc la multiplier par 20 pour avoir 0,001 . De là , nous concluons la règle suivante :

S’il n’y a pas plus de vingt nombres a ajouter, calculez seulement un chiffre de plus qu'on n’en demande; s’il y a plus de vingt nombres, calculez deux chiffres de plus.

Celte règle suffit dans la pratique , car on voit sans peine que la nécessité de calculer trois chiffres de plus ne se présenterait que si l’on avait plus de deux cents nombres à ajouter ensemble.

III. La règle est la même pour la soustraction ; seulement, comme il n'y que deux nombres, on aura

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, s = 2 0 ou 0 - »

en prenant le cas le plus défavorable, qui est ici celui où les approximations sont de sens contraire.

IV. Si néanmoins, dans l’addition ou la soustraction, on sait que certaines quantités sont prises en excès et certaines autres en défaut; en d’autres termes, si l’on connaît le sens des erreurs, il est bon d’en profiter, parce que ces erreurs peuvent quelquefois se détruire, ou, du moins, sc retrancher les unes des autres, de manière à diminuer considérablement celle du résultat. Mais cet avantage peut quelquefois se présenter dans une suite de calculs, même avec un nombre pour lequel on ignore le sens de l’erreur 0. C’est ce que nous avons vu ( SI ) dans le calcul des Tables de sinus et de cosinus.