VI. La formule

» — £ A a' -f- Ii o

établie (113, VII) entre l’erreur du produit et celles des facteurs, ou bien, ce qui revient au même, entre l’erreur du dividende et celles du diviseur et du quotient, permet souvent de voir sans calcul la valeur et même le signe des approximations que l’on doit attendre des données de la question .

Supposons, par exemple , que l’on nous donne la quantité

R ss — = o , 3 1 83 1 ,

approchée en excès avec cinq décimah s exactes, de sorte que l’erreur S' de B est négative, mais numériquement inférieure à o,ooooo5 ; on demande quelle approximation aurait la valeur A

de ir, obtenue d’après cette valeur B de — • L’erreur de A sera S ,

mais celle du produit sera

t~o, puisque tt . - = r .

Pour trouver S , il faut donc poser

Aé'-f- Bô = o,

ce qui montre que 3' étant négatif, 3 sera positif; ainsi ir sera calculé en défaut.

Mais, quant aux valeurs numériques,

Puisque

Ao'*=B<î, d’où 3 — 3'.— ■

A = 3 , i . . . et B = o , 3 1 ,

on peut poset

donc

3 = o,oooo5,

c’est-à-dire que l’on ne devra compter que quatre décimales exactes en divisant i par o,3i83i ; mais en réalité il y en aura une de plus , car le quotient est 3 , iq • 5g i, résultat en défaut comme cela doit être, mais seulement à la sixième décimale.

VII. Afin de ne rien négliger sur cette question, nous allons calculer directement un exemple de division abrégée, et nous en ferons ensuite la preuve en cherchant la multiplication abrégée correspondante. .

On demande à un dix-millième près le quotient de 22q,47o3568 par le diviseur 7 , 35c>4 , supposé exact; il faut donc calculer les cent- millièmes.

Il est facile de voir, par la nature des premiers chiffres du dividende et du diviseur, que le quotient aura deux chiffres entiers, ce qui, avec cinq chiffres décimaux, fera sept chiffres que l'on devra aussi prendre au diviseur, qui n’en a que cinq. Mais, comme ce diviseur est ici supposé exact, on y ajoutera deux zéros , et l’on fera l’opération suivant la règle connue :

APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

22g,47035 220 782OO

Voici le tableau de la multiplication abrégée correspondante :

7 359 {go

Sg

La vérification se fait exactement, caron a forcé le dernier chiffre utile du dividende, parce qu’il était suivi des chiffres 68.

On sait que c'est le diviseur qui doit servir de multiplicande pour retrouver la formation des mêmes produits partiels: de plus, comme le premier chiffre du diviseur a été obtenu par le diviseur tout entier, il faut mettre te premier chiffre du quotient sous le dernier chiffre utile du diviseur ; on obtient pour produit la partie utile du dividende.

VIII. Outre le procédé que nous venons d’exposer pour la division abrégée, il en existe quelques autres, un surtout, connu sous le nom de méthode: de Fourier, ou division ordonnée; mais nous le passerons sous silence , parce que ce procédé, d’ailleuis fort ingénieux , présente cet inconvénient que le calcul, d’abord assez simple, se complique à mesure que l’opération avance, ce qui fatigue l'attention et est contraire à la marche naturelle de l’esprit.

RYCIXE CARRÉE.

MIS. I. On a

en représentant par a et par s les erreurs respectives d'une quantité quelconque et de son carré; on aura donc, en négligeant S-, la relation