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entre ces erreurs ou plutôt entre la nature de leurs unités.
Mais nous indiquons seulement cette relation comme pouvant servir à vérilier le principe que nous allons énoncer, et que nous démontrerons par le procédé de la multiplication abrégée.
Une quantité approchée et son carré ont le même nombre de chiffres significatifs exacts.
On conclut facilement des relations établies (115, VI} entre l’erreur du produit et celles des facteurs, que, si l’on doit multiplier deux facteurs qui ont te meme nombre de chiffres significatifs , la méthode la plus avantageuse, consiste à les disposer de manière qu’ils se recouvrent exactement , puisque alors il n’y aura pas de chiffres perdus dans les facteurs. Ainsi, on obtiendra le carré d’un nombre avec la plus grande approximation possible, par la méthode abrégée, si l’on fait en sorte que ce nombre, pris comme multiplicande, recouvre le même nombre pris comme multiplicateur et renversé.
Cela posé, il peut se présenter deux cas : dans le premier, le produit a autant de chiffres que le multiplicande, comme l’indique le principe énoncé; c’est ce qui arrive , par exemple, si l’on
APPÛOX IM ATIONS NUMERIQUES.
4,98 au lieu de 4 19729
Dans le second cas , le produit a un chiffre de plus que le multiplicande ■si les chiffres supérieurs donnent une retenue; c’est ce qui arrive quand on cherche le carré de 76,4*
5830 au lieu de 5836, 96.
Mais la formule
montre que l’erreur atteint alors un chiffre déplus. En effet, pour que e soit d’un ordre plus élevé que S , il faut que l’on ait 2 a 7> 1 o , et l’on reconnaît sans peine que c’est ce qui arrive si la racine a est de nature donner un chiffre de retenue à son carré.
On peut donc conclure, d’une manière générale , le principe énoncé. A la vérité, le dernier chiffre de la racine étant exact, celui du carré peut bien ne pas l’étre, comme on le voit dans les exemples précédents, où le dernier chiffre du produit est tantôt trop fort, tantôt trop faible ; mais c’est Ve qui peut avoir lieu dans tous les calculs, et il en serait de même si l'on cherchait réciproquement la racine carrée d'une quantité quelconque.
II. On remarquera, d’après ce principe, que des tranches de zéros prises à la droite d’un nonibic peuvent quelquefois donner à sa racine les mêmes chiffres que donneraient, si on les connaissait, les véritables décimales du nombre proposé.
C’est ce qui a lieu quand on cherche la racine carrée de
donné avec quatre décimales : 011 trouve d’abord un chiffre entier et deux chiffres décimaux; ensuite, pour avoir les deux chiffres suivants, il faudra abaisser encore deux tranches de zéros qui conduiront au même résultat que les véritables décimales du nombre 7r , si on les avait employées.
On trouve, de cette manière,
mais nous nous sommes dispensés d’écrire le calcul , qui n’exige aucun procédé particulier.
Cherchons encore la racine carrée de 0,00047805 ; on doit, avant tout, reconnaître la nature des plus hautes unités de la racine , qui seront ici des centièmes , puisque le premier chiffre du nombre est celui des dix-milliènrtes ; on trouvera donc , pour la racine cherchée, 0,021864, à un millième près, en abaissant encore deux tranches de zéros.
III. Le principe connu (I) nous permettra de répondre le problème suivant :
Trouver l’approximation tic la racine carrée quand on connaît telle du nombre.
On cherchera cette racine avec autant de chiffres qu’il y en a dans le nombre, dût-on abaisser plusieurs tranches de zéros; seulement, d’après la nature des unités supérieures, l’approximation de la racine sera plus grande ou plus petite que celle du nombre. On résoudra de même le problème inverse, ainsi conçu :
Si l'on demande ta racine carrée avec une approximation donnée , avec quelle approximation faudra-t-il chercher le nombre?
On le cherchera avec autant de chiffres qu’on doit en avoir à la racine.
Si néanmoins on ne pouvait obtenir ce nombre avec autant de chiffres que cette règle l’exige, on ne pourrait trouver à la racine L’approximation demandée , et il faudrait en revenir au premier
APPROXIMATIONS > L'MKRIOIKS. 3~5
problème pour déterminer l’approximation possible à la racine , d’après celle où l’on s’arrête dans l’expression du nombre.
IV. En dehors des considérations précédentes , voici un théorème qui permet de simplifier l’extraction de la racinq carrée :
Après avoir obtenu par le procédé ordinaire les n premiers chiffres d'une racine carrée , retranchez du nombre donné, le carré de ces n premiers chiffres , et divisez ce reste par le double :1c ces n chiffres, vous aurez pour /piotient les n — i chiffres suivants de tu racine. '
Nous supposerons, comme on peut toujours le faire, que tous ces chiffres forment l’ensemble des chiffres entiers de la racine.
Cela posé, soit N le nombre dont on cherche la racine; soient a la première partie de cette racine, et b la seconde, composée de « — i chiffres, de sorte que a contient n chiffres significatifs et n — t zéros, en tout a n — 1 chiffres. Nous pourrons donc poser
N = (« -f- bY 4- r = a- lab + b’’ 4- r.
D’après la règle qu’il faut démontrer, nous devons prendre le reste
cl nous remarquerons que ce reste est connu quand on a opéré par le procédé ordinaire. On a donc
2 a ’ia
et il s’agit d’évaluer la fraction
Il faut démontrer que cette fraction est toujours inférieure à deux unités. Pour cela, remarquons que le cas le plus défavorable, celui dans lequel r est maximum, a lieu quand i -t- N est le carré de s+i + i, puisque N est un nombre entier dont la racine a pour partie entière a -h b, ce qui donne pour limite extrême
Nous aurons alors
N x [a + bf -f- a(« -4- b), *
3^6 EHAPlTWt HUITIÈME.
et, par conséquent,
r — la 1 b \
la fraction - — 1 — devient donc 2 a
sa
Ainsi , cette fraction peut être plus grande que l’unité, mais il faut prouver que l’on a toujours
(6 + iy-,
sa ~~~
Pour cela , nous remarquerons que b et b 1 sont des nombres de a — 1 chiffres , ce qui fait que ( b -+- 1)’ en a 2 n — 2 au plus , Tandis que dansa, et ù plu? forte raison dans sa, on trouve sn — 1 chiffres.
On peut même faire voir que
En effet, dans le cas le plus défavorable où 1 j serait
maximum, il faut concevoir que b présente une série de 9, de sorte que b 4- 1 soit une puissance de 10. Nous prendrons, pour fixer les idées, n = 3 ; alors
ce qui donne
b = 99 et b
Alors le minimum de a , pour prendre toujours le cas favorable , sera
le plus dé-
ce qui est le plus petit nombre de sn — i = 5 chiffres ; par conséquent ,
a la 2
pour lifnitc extrême.
APPROXIMATIONS NUMERIQUES. 3ç7
