RACINE CUBIQUE, ETC

ilC. On trouvera une règle semblable pour obtenir, après les n premiers chiffres d’une racine cubique , les n — 1 suivants. Nous devons commencer par indiquer la manière la plus simple d’extraire une racine cubique, du moins au point de vue pratique; car il paraîtrait naturel , à chacun des chiffres que l’on obtient, de faire le cube de la racine déjà obtenue, et de le retrancher de l’ensemble des tranches correspondantes : mais , de cette manière, les calculs laits pour un chiffre ne serviraient point pour les suivants, et l’on aurait toujours à revenir aux plus hautes unités du nombre. Il faut donc imiter le procédé de la racine carrée en formant successivement les diverses parties du » cube.

approximations numériques.

Soit à extraire la racine cubique du nombre 3a . 977 . 34o .218 43a ;

on voit d’abord en le partageant en tranches de trois chiffres de droite à gauche, comme nous l’avons fait, que la racine aura cinq chiffres et que le premier sera la partie entière de la racine cubique de 32, c’est-à-dire 3 pour 27. La question étant donc ramenée provisoirement à extraire la racine cubique de 32,977, si nous indiquons par a les dizaines et par b les unités de cette racine, nous savons déjà que a = 3o, puisque 3 est le chiffre des dizaines. Retranchons a i = 27000 de 32977, il reste 5977, nombre dans lequel il faut chercher

3 a* b -+- 3 Ob' 1 q- b\

En divisant 5qoo par 3 ti 1 — 2700, ou 5q par 27, on a pour quotient

on sait, du reste, que ce quotient est quelquefois trop fort pour la racine.

Voici maintenant comment on peut former les autres parties du cube. Posons d’abord

et multiplions ce nombre par b — 1, ce qui fait 3 11 b -+- b' — 1 84 ;

ajoutons 184 avec 3 «-= 2700, nous avons 3 n 2 -+- 3ab -+- b‘‘ — 2884*

Imaginons que l’on multiplie encore cette somme par b = 2, il vient

3 a 7 b -1- 3 ab- 4- b\

ce qui donne justement le reste du cube. D’ailleurs on n’est pas obligé d’écrire ce produit de 2884 par 2, et l’on peut, à mesure qu’on en trouve les chiffres, les retrancher de 5977, ce qui donne pour second, reste 20c).

• -wjpw;

38 o ' CHAPITRE HUITIÈME,

II faut ensuite diviser 2093 par le triple carré de 3 ?. que l’on peut encore obtenir très-simplement en posant l > 7 = 4 so,ls 2884, et en faisant la somme des trois nombres 184, 2884 et 4 ; en effet, cette somme donnera

(3 ab H- b- ) H- ( 3 a 7 -t- 3 nb -4- b~) -+- b 7 = 3 « 3 + 6 ab H- 3 b 7 — 3 (a -+■ b) 7 .

On voit comment on continuera le calcul dont voici le tableau :

Le nombre 2093 ne contenant pas le diviseur 3072, il a fallu abaisser immédiatement une tranche de plus, et ajouter deux zéros à la suite du triple carré; alors 2093402, divisé par 307200 a donné 6 pour quotient, et l’on a continué de la même manière jusqu’au dernier reste qui est nul , ce qui montre que le nombre donné est un cube parfait.

Quant aux nombres 9606 et 96188, on les forme de la même manière que

3 fl b =: 92.

On peut donc poser la règle suivante :

Apres avoir extrait la racine cubique de la première tranche à gauche et soustrait de cette tranche le cube de cette racine , abaissez

3Si

APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

la tranche suivante , séparez 1rs deux derniers thijjres du nombn ainsi formé et divisez la partie restée à gauche par le triple carré des' dizaines. Multipliez ensuite parle quotient qui représente tes unités de la racine déjà obtenue , un nombre composé de trois fois tes dizaines plus les unités , ajoutez ce produit à trois fois le carré du nombre des dizaines, suivi de deux zéros, multipliez encore cette somme par les unités et retranchez ce nouveau produit du reste , suivi de la tranche que l'on a abaissée. Pour trouver le diviseur suivant , qui doit être le triple carré de la racine déjà obtenue , il suffit d'écrire te carré des unités sous les portions déjà connues de ce diviseur, qui se trouvera en ajoutant ce carré avec les deux nombres supérieurs.

Ayant ainsi obtenu le triple carré fies nouvelles dizeines relatives à la racine qui correspond à une tranche de plus, on continue le calcul de la même manière.

II. Voici maintenant comment on peut, connaissant les n premiers chiffres d'une racine cubique, trouver par une simple division les n — i suivants.

Nous supposerons encore que a et b représentent les deux parties de la racine, en sorte que b doit avoir n — i chiffres et a, déjà connu, a n chiffres significatifs suivis de « — i zéros, en tout e n — i chiffres. De cette manière a -+- b est la partie entière de la racine cubique du nombre. N, de sorte que

on en conclut, en posant N — a' — R, quantité connue si l'on a opéré par le procédé ordinaire ,

R , iab : + b

Pour voir quelle valeur peut atteindre la quantité

3 ab-

prenons le cas le plus défavorable Xi relui où l’on aurait 1 N = ( a b -+- 1 ;

il esl clair qu'alors r sera maximum. On trouve, dans cette supposition ,

N ” ( a -f- b Y -4 3 ( « 4 b Y -4 3 ( fl -4 è ) , ce qui donne

r = 3 (o -4 è )’ -t- 3 (a + i) = 3a ! 4- 6 ai -4 3 A’ - 4 - 3 a -4 3 é, et, par suite,

3 ab 1 -4 b ' -4 /• 3 « ( ô -4 1 ) J -4 ( è -4 t V 1 — i

On a donc enfin , au maximum ,

ce qui prouve que l’on peut quelquefois avoir le quotient en excès b - 41.

Mais, outre cela, nous avons vu, à propos de la question analogue relativement à la racine carrée (H5, VI, qu’il est possible,

à la limite extrême, d’avoir ^ - 1 = t. Cependant, comme ce

fait est tout à fait exceptionnel nous le laisserons de côté et nous considérerons qu’en général b -4 t n'ayant que n — i chiffres, (b - 4 1 )’ n’en a que 2 a — 2 , tandis que a en a 2 « — i. A plus forte raison ( b -4t) 5 <^ fl’, donc la dernière fraction est de beaucoup inférieure à l’unité.

On peut donc généralement admettre que les n — i premiers chiffres du quotient donnent pour valeur maximum b- 4i.

De là on conclut la réglé suivante:

Soit 11 le reste obtenu en retranchant du nombre le cube des n premiers chiffres de la racine , et divisez R par te triple carré de cette racine déjà connue; les n — i premiers chiffres du r/uotient sont les n — i chiffres suivants de la racine.

Nous appliquerons cette règle à l’exemple déjà traité. En cher-

• APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 383

chant la racine cubique île 32.977.340.218.432, nous avons trouvé 320 pour les trois premiers chiffres de la racine, et le reste U , obtenu après avoir soustrait le cube de 3 20 de l’ensemble des trois premières tranches, était 2093402 18432. Il faut donc diviser ce nombre par le triple carre de a = 32000, c’est-à-dire par „ 3072000000.

On verrait facilement que le quotient donne des dizaines, comme cela doit être ; mais puisque nous ne cherchons que deux chiffres, ou plutôt trois, afin d’effacer le dernier, il suffira (IM, V) de prendre aussi trois chiffres au diviseur, et quatre au dividende. Voici la division abrégée qui donnera les deux chiffres demandés,

On obtient donc exactement les deux chiffres 88 de la racine, mais ce procédé ne fait évidemment pas connaître que le nombre est un cube parfait.

Nous avons vu qu’on trouve souvent ainsi un quotient en excès; on pourra donc quelquefois ne pas forcer le dernier chiffre conservé, même s’il est suivi d’un 5 ou d’un chiffre supérieur à 5.

Enfin on comprend comment cette méthode s’applique à des nombres décimaux.

III. Comme relation entre l’erreur s d’un cube ou d’une puissance quelconque et l’erreur S de sa racine, nous avons la formule

dans laquelle ni représente l’indice de la puissance et qui se réduit à e = ineiS, en supprimant les puissances supérieures de 5 .

Connaissant la nature des plus hautes unités de a , on emploie cette formule pour trouver, dans chaque circonstance, la valeur de t en (onction de 'î, et réciproquement; ou, pour mieux dire,

CHAMTHK HUITIÈME.

la relation qui existe entre les espèces d’unités de ees deux erreurs. Mais il serait assez difficile d’en conclure une règle applicable à toutes les valeurs de m , pour comparer le nombre des chiffres si-' gnificatifs exacts de la puissance et de sa racine, parce que, d’un côte, le nombre des chiffres s’accroît d’une manière variable suivant la valeur de m et celle des premiers chiffres (c’est ainsi quu. 8, cube de ?. , n’a qu’un chiffre , et que 729, cube de 9, en a trois), et que, de l’autre côté, le coefficient m dans l’expression z = maS augmente l’erreur de la puissance.

IV. Pour comparer les erreurs respectives d’une puissance et de sa racine, quant au nombre des chiffres significatifs exacts, la méthode la meilleure, quoique assez indirecte, consiste dans la considération des logarithmes de ces quantités; on sait, du reste, que les extradions de racines se font presque toujours, dans la pratique, à l’aide des Tables de logarithmes.

Or l’usage de ces Tables montre que le logarithme de la puissance et celui de la racine ont le même nombre de chiffres exacts, et qu’il en est de même , par conséquent, pour ces deux quantités elles-mcines. Nous admettons , à la vérité, que les Tables soient calculées avec autant de décimales qu’il en faut pour que le dernier chiffre du nombre donné influence le dernier chiffre du logarithme correspondant; mais c’est ce qu’il est toujours possible de supposer en théorie, quelle que soit d’ailleurs la véritable approximation des Tables. On peut donc conclure de là que la puissance et sa racine ont te même nombre t/c chiffres significatifs exacts.

V. Nous devons cependant observer, comme restriction à ce principe, que le calcul par logarithmes donne plus de précision quand on cherche la racine au moyen de la puissance, que si l’on cherche la puissance au moyen de sa racine. En effet, dans le premier cas, on divise le logarithme par l’indice de la puissance, ce qui diminue l’erreur, tandis que, dans le second, on multiplie par cet indice, ce qui augmente l’erreur.

VI. Dans toutes ces théories d’approximation, nous n’avons presque jamais distingué le cas où l'erreur est , soit en défaut , soit

A VPROX1 MATIONS NIIMKBIQURS.

en excès; en effet, on n'çn sait souvent rien, surtout clans les données de la physique et de la chimie, et nous avons toujours voulu permettre au calculateur d’opérer dans le cas le plus général et le plus défavorable. Aussi, nos formules s’appliquent à toutes les valeurs positives ou négatives des erreurs ou des approximations.