Considérons l’équation x 3 — 2 .r
dont les racines sont comprises, l’une entre o et — i, l’autre entre o et 1 , et enfin la troisième entre 2 et 3.
Cherchons la seconde racine pour laquelle a= o, A==i, ce qui donne
/(fl) = 1 et /(A) =— i,
on trouve
/'(x)= 3.r’ — 4x— 1 et /"(i) = 6i- 4;
don cf" (,r) prenant des signes différents pour les limites qui coniprennent la racine, on ne pourra pas compter sur la méthode de Newton, et il faut prendre avec M. Cauchy
ce 'qui donne
m — — 5, fl 1 ) =. 0,2 et A, = o,5.
Ensuite • ,
w,=r )'(rt,.)— f/(A,} = — 4>o8, •
d’où l’on tire .<
a, = o,38 et A,= o,6(>j
36 CHAPITRE UF.UXIÈME.
on trouvera de même
Une fois arrivé à ce point, on peut employer la méthode de Newton, si l’on étend cette expression A l’ensemble des deux premiers' cas examinés dans le n° 13.
En effet, la quantité ’f" (■*}— 6 .r — 4 devenant nulle pour
x = - = 0 , 6666 . . . , on voit qu’elle ne change pas de signe
depuis x = o,5 jusqu’à x = o,584- Comme/" (x\ est négatif pour ces deux valeurs, oh se {couvé dans le second cas, c’est-àdire que l’on devra poser •’
4 5 /'(A,) 5 y' ( Aj )’
ce qui donnera
* a, = o,554 * et A * =.o,555.
En continuant ainsi, l’on trouvera’
Cette méthode ne s’applique pas seulement aux équations ordi.naires , c’est-à-dire aux polynômes, mais à des fonctions quelconques, même transcendantes. Ainsi, considérons encore l’équation
Il est clair qu’il n’y a pas de racine négative, car cette équation revient à x.. 2 * = 3o, et l’on voit que la substitution d’un nombre négatif quelconque donne pour x. 2 1 un résultat négatif qui ne peut être égal à 3o; de plus, il n’y aura qu’une seule rafine positive, car x. 2 * croît indéfiniment à partir de x = o.
On reconnaît que cette racine est comprise entre a = 3, qui donne ' * • »
/(a) = 6 et A = 4> ’ *
pour lequel /(A) = — 34, ebsuile
/'(x) = — 2 *(l-t-xl 2 ) et f" (x) = — 2*1 2 (2 xl 2 ),
APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. ' T.’J
en indiquant par 1 ?. le logarithme •népérien de 2 , c’est-à-dire 0,69314718. On reconnaît facilement que f" (x) est toujours négatif, par conséquent, • .
a '- n -yvT)
et
On a
■ tw
ce qui donne
et A,=i 3 , 4 -
On calculera 2 1 par logarithmes, et l’on parviendra bientôt à la valeur
qui est suffisamment approchée, car
18 . Frappé de l’incertitude qui accompagné la méthode de Newton, telle qu’elle avait été exposée jusqu’alors, Lagrange en avait imaginé une autre qui n’offre pas le même inconvénient et qui même permet, à chacune des approximations successives; de calculer la valeur et le sens de l’erreur. Seulement, comme cette méthode est fondée sur l’usage des fractions continues, nous devons rappeler ici leur nature et leurs propriétés.
• On appelle fraction continue toute expression de la forme
<7 , é , c, . . . , oc , ( 3 , y . . . , étant des nombres entiers positifs ou négatifs; mais nous.ne considérons que les fractions continues de la forme
28 C.HXPITRR DEUXIÈME,
où les entiers a, b , c , . . . sont positifs, c’est-à-dire des expressions composées d’un entier plus l’unité, divisée elle-même par un entier plus l’unité, et ainsi de suite. Le premier, a , de ces nombres entiers, peut seul être nul.
On appelle fractions intégrantes les fractions 7 > - » - > • • • i * v o c d
el quotients incomplets les nombres b, e, d , on appelle quotient complet une quantité telle que
prolongée jusqu’à la fin de la fraction continue, qui peut être indéfinie dans bien des circonstances, c’est-à-dire quand la valeur de cette fraction est incommensurable.
Enfin, on appelle réduites les quantités
qui s’arrêtent à chaque quotient incomplet.
Il est facile de réduire en fraction continue une fraction ordi-
naire telle que
d’abord
ensuite
tb îb
ce qui donne
APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
et Von bbüen.t’
On voit que cela revient an procédé du plus grand commun diviseur.. . - *
D’après Adrien Metius; . •’
' • • • V. Cn 3 ' - • •
Formation des réduites. — La première réduite est
la seconde
la troisième
tl “H T —
i ab b
i \ ç j (nb -+- i) r-l- a
bc ■
On voit que jusqu’à présent le quotient incomplet correspondant, à la réduite que l’on considère n’entre qu’au premier degré au numérateur et au dénominateur de cette réduite. Pour voir que cette propriété est générale , il suffît de prouver que, si elle est vraie pour une réduite
■ . ‘ P 7 - Rl> + K ,V :•'•••• *><
. • *i ii •
dont le quoljeut incomplet est />, elle est vrate aussi pour la réduite suivante dont le quotient incomplet est </. En effet,
«: - «■ u + i\ + .v, i»>+v>,+» ~ fv +•
. à. - . Lr , . • - *
; „ . , V, ? . . ft
mais de plus la réduite suivant^ -7 sera
(Vq + foïé-f- P
rp'q + M';r+P'
et cette valeur
Qr+P
démontre le théorème suivant : • • ■ ■
r numérateur d'une réduite s'obtient en multipliant le quotient incomplet qui lui correspond par le numérateur de la réduite précédente et ajoutant te numérateur de la réduite qui précède de deux rangs. Le dénominateur se forme de même, au moyen des dénomi- .. nateurs de ces réduites. . .
Ainsi, dans l’exemple que nous avons pris , Ta première réduite est
la seconde
et la troisième, ayant pour quotient incomplet le nombre 16, a ' pour valeur
ce qui donne la fraction elle- même.
Propriétés des réduites ■ — I. Dans la fraction continife
APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
p7> q 7> —, otailt les réduites qui s arrêtent aux quotients mconij plets p, q,.r, on a vu que ••
R Qt -4- P
R' QV+.P'
Mais soit
le quotient complet qui commence à r, il est clair que
__ Qj-t-P .
/ . + < •* ce qui donne . . •
" * .>(Q’*-Ql=P-P'i.
6u bien.
On voit par là que x — ^ et — — x sont de même signe ; donc
la valeur de la fraction continue est comprise entre deux réduites consécutives. ■' *•
