X 1 -+- I OO.X

et remarquons que l’une de ses racines diffère très-peu de •

car, par x — — î— , le premier membre se réduit à — - — » qui ioo *■ . , îoooo

diffère peu de zéro. Nous pouvons donc, en modifiant un peu la méthode pour simplifier le calcul , remplacer x par o,oi, seulement dans le carré x', ce qui donne f

o , ooo i -t- i oo x = i ,

et l’on a pour seconde valeur

x = o ,oi — 0,000001 = o;oog999 ;

mais la première valeur jç = o,oi était déjà suffisamment exacte.

On trouvera l’autre racine en observant que la somme des deux racines est égale à — ioo.

12 . Une question qui se présente souvent consiste à calculer les racines d’une équation du second degré quand le coefficient de x 1 est très-petit.

Soit donc a très-petit dans l'équation

on en conclut

ce qui donnerait

ax 5 + bx -+■ c = o ;

pour première valeur de l’inconnue, si a était tout à fait nul. Transportons donc cette valeur dans le second membre; on trouve pour

seconde valeur

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

L’autre racine se calculera, encore en retranchant cette pre-

mière racine île -• ■ • „ ' * *

Cette méthode, déjà employée dans l’exemple précèdent, conduit à des Calculs très- simples j mais comme on substitue la première valeur de l’inconnue dans le carré de.»- et non dans la simple puissance, on pourrait craindre qu’elle ne fût pas suffisamment exacte : il est donc utile de la contrôler par les procédés déjà connus (*). •

On sait que .

- b ± J b- — Z rtc . *' ’• , „ •

oû bien

( sj b‘ — 4«c — b) {y/ b‘ — $.ac 4- b) .ia\\! b' — b )i

en prenant seulement le .signe positif du radical. En réduisant, on a

y b' — 4 ac -+- b

( 4 ) I.c calcul qui va suivre fait seulement voir que cette méthode est exacte dans les mêmes limites que celle de Newton, qui n’en diffère pas essentiellement et que nous développerons bientôt; mais il se présente des circonstances où elle tombe en défaqt , c’csi-à-djrc que les valeurs successives ne s’approchent point de la racine. C'est ce qui arrive pour les équations

— : r + ioi — io* = o et — : r+tOï — io* = o

10 io‘

• . * - . • que nous a communiquées M. Harant. Scion M. Gerono, cotte méthode n’est applicable que si ac est très-petit par rapport à t‘. En effet , dans l’expression r " .

c ac s et ac\

il faut que ^ < 1 pour que la correction soit plus petite que la premidl e valeur. - *

On évaluera \jb* 4 ac par la forjnule connue

qui donne

, . / 4 oc , / iac\ . me

d’où l'on tire

■ bc

6’ — ac

Pour identifier cette valeur avec celle que nous avons déjà trouvée, il faut diviser bc paj; — ac, ce qui donne, en ne conservant que les deux premiers termes. du quotient, et supprimant ceux qui contiennent n’ et les puissances supérieures, la valeur

c ac 1

gué nous avions obtenue d’une autre manière.

Du reste, on arrivera au -même résultat en posant

y . étant très-petit, on négligera y 1 , et il reste

■ * * ac 1 2acy

j; ji + Ar-o!

mais ay *est négligeable, puisque a est aussi très-petit, ce qui donne • '

ac 1

comme ci-dessus.

Les extractions successives de racines carrées de la forme

\]a -+- \jb peuvent quelquefois- se ramener à dès extractions simples. Soit *

'J a +. \[b — \ja -f- ;

élevant au carré, on trouve

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

Égalant de part et d’autre la partie rationnelle et la partie irrationnelle, il vient . «

=?a et =

donc a et p sont les racines de l’équation

qui donne

La transformation n'est donc utile- que si a’ — b •==.& est un carré ■ parfait; alors

\a ± Mb — ± y—--

. Par exemple

15. Les approximations successives s’obtiennent d’ordinaire par la méthode de Newton , qui est fondée sur le développement des fonctions en série.

Le théorème de Taylor donne

les coefficients de h sont les dérivées successives de f(x), où x est remplacé par u.

Soit donc y =/(x) une fonction quelconque, et supposons que a soit une valeur de x assez approchée d’une racine de l’équation o, h étant la quantité qu’il faut ajouter à a pour

avoir cette racine. ‘Cela revient à supposer

d’où il résuUç

Comme h est suffisamment petit, on posera, ilu moins pour une première approximation , • .

ce qui donne

On obtiendra ainsi une valeur de la racine, généralement plus approchée que la première. Soit .donc

on substituera cette valeur «, , comme on a fait pour u , ce qui donnera pour seconde approximation

et ainsi de suite. C’est en cela que consiste la méthode de Newton.

Prenons comme exemple l’équation

70 aé — -f- 90 ’j:’ — 20 .r -+- I = O,

et cherchons celle des racines qui est comprise entre 0,06 et 0,07. La première de ces valeurs étant substituée dans le polynôme donne

et la seconde • , .

/(OjCj) = — o,oo 533 g 3 .

La seconde valeur étant évidemment plus approchée que la première, nous poserons n = 0,07 et en la substituant aussi dans/' (x), on aura

0,0053393 ro

Oa trouve ainsi

A I* 1‘ KO \l MATIONS SUCCESSIVES.

ensuite

ce qui donne

li , — — % — 1 = o ,0000 nb 45 ,

14. On peut croire d’abord que l'approximation croît rapidement quand on emploie cette méthode : en effet, supposons, pour fixer les idées, que h soit plus petit qu’un centième, comme dans l’exemple précédent, le carré h 1 qu’on négligera dans la première approximation sera plus petit qu’un dix-millième, et il semble qu’une approximation doive toujours s’exprimer ainsi par le carré de la précédente. C’est ce qui a lieu quelquefois, et le calcul précédent en offre un exemple, comme on pourrait s’en assurer; mais le coefficient qui multiplie //’, et les termes qui le suivent, ne permettent pas toujours que l’approximation soit aussi considérable.

Quelquefois même l’importance des ternies que l’on néglige va au point dê donner des corrections qui éloignent de la racine au lieu d’en rapprocher : aiusi, une racine étant comprise entre deux limites, il peut se faire que la méthode de Newton donne une valeur qui ne soit pas comprise entre ces limites; dans ce cas la correction devient évidemment illusoire.

Il faut donc, en général, vérifier chaque approximation après l’avoir obtenue, c’est-à-dire reconnaître par des substitutions convenables si la racine est comprise dans les nouvelles limites que l'on a déterminées : ce qui altère beaucoup la simplicité de la méthode ; mais l’habitude du calcul peut faire éviter ces substitutions en dirigeant convenablement les approximations, et observant que les corrections sont, tantôt positives, tantôt négatives.

18. Cependant comme la méthode de Newton tombe quelquefois en défaut de manière que le calculateur ne puisse en faire usage qu’avec de longs tâtonnements; il est important de la perfectionner de telle façon , que, sans tien perdre de la simplicité, elle

donne une approximation certaine, et que l'on parvienne même à resserrer la racine entre deux valeurs, l’une supérieure et toujours décroissante, l’antre inférieure et toujours croissante. Cetttr question a longtemps exercé les mathématiciens, mais on peut la résoudre complètement en combinant les travaux de Fourier avec ceux de M. Cauchy.

Nous supposerons d’abord que la séparation des racines a été obtenue, soit parle théorème de Sturm, soit par tout autre moyen (*). Ainsi, l’équation donnée f{x) = o n’a qu’une racine comprise entre a et A.

De plus, nous pouvons supposer que cette racine est positive, car cela revient à changer, s’il le faut, x en — x, c’est -à-dire à changer le sens des abscisses dans la courbe dont l’équation est f{x).

Nous pourrons alors supposer a > o, car rien n’empéche de

commencer les substitutions par x=o; à plus forte raison, A sera positif.

Enfin, nous pouvons aussi imaginer que /(a) est positif : pela revient, s’il y a lieu, à -changer le signe de tous les termes de f{x), ou bien le sens des ordonnées dans la courbe 'dont nous avons parlé. Ces hypothèses sont faites pour fixer les idées; si la question n’y rentrait pas, il serait facile de l’y ramener.

Cela posé , décomposons la fonction et ses deux premières dérivées chacune en deux groujies, l’un positif, l’autre négatif: nous aurons donc

f[x) = X (x) — [t (x), f (*) = V (r) — fl' (xj

(*) Nous rappellerons ici l'énoncé de ce théorème. SoientX un polynôme ordonné suivant les puissances de x, et X' sa dérivée; cherchons te plus grand commun diviseur entre X et X', et changeons le signe de’ chaque reste. Soient X t , X,, X, ,. . ., X r , ces restes ainsi changés de signe, le dernier X étant numérique , puisque X = o n'a pas de racines égales. Si l’on substitue dans la série X, X', X,, X, ,. . . , X r deux nombres o et A, (A > a), le nombre de racines de X = o comprises ^entre a et A est égal à l’excès du nombre de variations obtenues pour a sur -le nombre de 1 variations obtenues pour A. ’

approximations successives.

Maintenant substituons alternativement, a et A dans la partie positive et dans la partie négative de/"(x), ce qui donnera les deux résultats * ‘ t •

(a) — (A) et r(A)'-^’(a): (

il pourra se présenter trois cas différents :

i°* Ces résultat? sont tous deux positifs. • •

. ' Prenez alors a, — a — tttX et A, = A — i 1® rac > ne

sera’comprise entre a, et A,, car il 'faut observ.er que/(«) et y (A) sont de signes contraires, puisque a et A ne contiennent qu’unq racine de l’équation.

On posera, pour seconde approximation,

a '-M et

La racine sera donc resserrée, comme nous l’avons dit, entre deux valeurs, l’une supérieure et toujours décroissante, l’autre inférieure et toujours croissante.

2 °. Les résultats sont tons deux négatifs.' 1 Prenez - • ' . -

et A, = A —

La seconde approximation donnera de même

■ .,/'( Al )

et ainsi de séite.

(*) Si /(x) est un polynôme, les termes positifs et négatifs de J' (x.) et de /"%(*) seront les dérivées successives des termes correspondants de J (x), comme nous Tindiquons ici; mais pour beauçoup de fonctions transcendantes et même algébriques, il pourrait ne plus en être de même. Du reste cela ne changerait rien aux résultats que nous allons énoncer.

3°. Les résultats sont de signes différents.

11 faut alors substituer a dans le groupe positif de /' (x), et A dans le groupe négatif, ce qui donne

quantité qui sera 'toujours négative, d’après les hypothèses que nous avons faites. Nous aurons alors

de même

m et

ni,

en posant

et ainsi de suite ("*). • •

16. Ce procédé, qui convient au cas où la. méthode de Newton est complètement en défaut, a été indiqué depuis longtemps par M. Cauchy ; on peut s’étonner qu’il ne soit pas plus répandu et qu’aucun ouvrage élémentaire n’en fasse mention. Il est général, c’est-à-dire qu’il s’étend à tous les cas possibles; mais il çst d’ordinaire moins avantageux que les autres procédés, quand ceux-ci sont applicables.

En effet, si le premier cas se présente et - qu’on puisse employer la formule a, — a — f a,,t T ue y v (o) = V(fl) —

soit négatif, ainsi que m == X' (o) — p‘(A). Mais il est clair quem est numériquement plus grand que f (a), puisque le groupe négatif (/ (A) est plus considérable que p'(fl), en supposant que fi' (x) augmente avec x : donc le plus grand dénominateur don-

nant la plus petite fraction, on voit que la correction —

sera plus avantageuse que —

(*) Pour la dcmonstraliorule celle théorie, voir les Nouvelles Annales de MM. Tcrquem et Gerono, tome XV, pages et suiv. (Juillet x 856. )

•APPROXIMATIONS SIJCCESSIVïS. 25

De même, dans le second cas, si l’on compare (es deux valeurs négatives /'(A) = )'(A) — p' (A) et m = V(«) — p'(À), la seconde sera numériquement plus grande que la première, parce que la partie positive).' (fl ) est plus petite que/.' (A), en admettant encore que X (.r ) augmente avec .r.

La correction de M. Cauchy, a, = a : —

approche de la

plus petite racine comprise entre a et A; elle peut donc servir même quand les racines ne sont pas séparées. On aura pour seconde correction • .

et ainsi de suite.

Il sera facile de transformer la méthode de manière à revenir de A à a pour se rapprocher de la plus grande racine comprise dans cet intervalle.