VII. Enfin , — approche de la valeur de -r, non-seulement

plus que la réduite précédente, mais plus que toute autre fraction

— exprimée en termes plus simples. En effet, supposons que

in 111 Q , , . P

— approche plus de .r que —, et, a plus torte raison, que —, :

comme x est compris entre —, et —, il en sera de meme pour

— , et l’on devra avoir, abstraction faite du signe, m'

ou bien , à cause de QP' — PQ' = i , cela revient à P/h' — P 'm „ i

Mais P/n' — P' ni est au moins égal à l’unité, et l’on a supposé" m 1 <C Q’ i dpnc l’inégalité précédente est impossible, ce qui démontre le théorème.

34 CIIAP1TRF. DRDX.1KMF..

19. Maintenant il sera facile tle concevoir le parti que Lagrange a pu tirer de ces propriétés.

Soit f[x\=z 6 une équation dans laquelle les racines sont séparées; nous considérerons seulement les racines positives, car, pour trouver les racines négatives , il suffira de changer x en — x et de calculer les racines positives de la transformée qui seront les racines négatives de la proposée.

Il faut maintenant faire en sorte que 1rs deux nombres qui comprennent la racine cherchée soient deux nombres entiers qui différent entre eux d'une unité. Supposons , pour fixer les idées, qu’ils diffèrent d’un centième, et que la racine x soit comprise, par exemple, entre

.r, = 3 , 25 et x-, — 3 , 9 . 4 .

Posons dans l’équation donnée

x = » d ou z=ioo.r,

ioo

nous aurons une équation transformée ,/"(i) = o dans laquelle la valeur correspondante à celle de x que l’on cherche sera comprise entre

z, = 325 et 2 ^ = 324 »

et ces deux limites satisferont aux conditions posées, tandis que 3 et 4 pourraient contenir d’autres racines, outre celle que l’on considère.

Nous pouvons donc admettre dorénavant que la racine est seule comprise entre a et a -+- 1 , le nombre a étant entier. Posons donc

x = a 4--; on obtiendra une équation tranformee en j qui n’aura

qu'une seule racine réelle et positive , puisque l’équation proposée n’avait qa’une seule racine entre a et a - 4 - 1 . On cherchera les deux nombres entiers b et b 1 qui comprennent cette valeur de jr,

et posant b H — > on obtiendra une équation en z sur laquelle on répétera les raisonnements précédents, ce qui don-

APPIH1XIMATIONS SUC.CFSSIVF.S .

et ainsi de suite. On aura donc

X xl a -f-

et l'approximation pourra être poussée aussi loin qu’tÿi voudra. De plus, les propriétés des .réduites permettront d’avoir le signe ..et la limite de l’erreur. ’

Cette méthode n’est pas d’ordinaire très-expéditive; cependant, si les quotients incomplets sont considérables , on voit, d’après la formation des réduites et la mesure de l’erreur, que l’approximation peut croître assez rapidement.