Pour les fonctions exponentielles s, ,i j

( J/ » ‘ . i xl(l Y , (^fa) 1 , Vr?'$à

** .' vh7‘.\ V

. •/ v ... : -, •• •> V, h. .. .•••. '■ .JB

fc ; ' ; ■ ■ r>-.v • • ■ S

Si a == e.

et pour x = i,

On trouve que celte lias» 1 îles logarithmes hyperboliques, que l’on appelle quelquefois aussi népériens, est un nombre incommensurable égal à 2,718281828. . . .

Soit M le module par lequel il faut multiplier les logarithmes hyperboliques pour obtenir les logarithmes vulgaires; on a vu ilans le numéro précédent que M = Le. Or, si l’on multiplie/ 10 par ce module, on doit avoir l'unité, puisque Lio=i, ce qui donnera *

1 10. Le =1 et M =

On trouve

/ 10 = 2,3o2585ot)2g et M = Le = 0,4342944^' 9- Les séries n* ou e * sont toujours convergentes, quel que soit x, parce que les facteurs qui s’accumulent au dénominateur finissent toujours par l’emporter sur le facteur constant dont s’accroît le nu-

inerateur.

On a en general

d.a* ' Iou«

dx log e

Mais si l’on prend e pour base, il reste

dx

= In . a 1 ,

et si , de pins, a — é, on a enfin

et même

dx

d n . c* dx"

donc aussi

Ç a* dx - — h C et j e* dx — e* 4- C.

• EORMUI.ES APPROXIMATIVES. • 53

30. Les formules relatives à la trigonométrie sont encore remarquables. Nous avons les deux développements

xr

stn x = x

cosx = l

Ces séries, trouvées par Newton, sorit toujours convergentes, et l’on sait d'ailleurs que le terme auquel on s’arrête est la limite de l’erreur, puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs : il faut observer aussi que l’arc x est exprimé ici , non pas en degrés, mais en longueur de la circonférence dont le rayon est l’unité. . ; » .

Ces formules font voir que si l’arc est très-petit, il peut se remplacer par son sinus, mais que ce sinus est toujours plus petit que l’arc; elles montrent aussi que le cosinus d’un arc très-petit se remplace par l’unité , mais qu’il est un peu plus petit que l'u- ■hité.

Ainsi les formules générales

et

sin ( a -t- k ) sin n cosx -+- sin x eus a cos ( a -+- x) = cosn cosx — sin a sinx

peuvent se remplacer, quand x est très-petit, par les. formules approximatives

sin ( n x) — sin a -t- x cosn

et

cos(a -+- x) = cosct — x sin a.

31. On développe l’arc dont la tangente est x, par la formule soi vante, due à Leibnitz,

arc tang x = x — — -t- — h

Seulement cette formule n’est convergente que pour x compris

entre -t-i et — i. Nous verrons comment on l’emploie pour calculer 7T.

La tangente et l’arc sont toujours très-petits en même temps, car il reste alors ' •

arc tangx == xj ’

mais la tangente est un peu plus grande que l’arc, car la partie négligée dans le développement est négative, comme on peut lé-' voir. La formule

tang (a -t- x) =

tung a -4- tanga:

t tanga tangx

devient

, tang a x

tanglo -+- xi = 5 ,

° ' • i — x tang «

pour x très-petit. Effectuant la division fct négligeant les puissances supérieuses de x , il reste

tang (a + x) — tang a -f — •

* cos a

On a pour les sinus et les tangentes

d . sin x

dx

= cos x ,

d . cos x

dx

-= — sin x,

et aussi

xf. tangx t dx cos’x

cos x dx = C -4- sin x ,

Par conséquent, on obtient

I sinxc/x = C — epsx, J ce

' > (’ dx '/*■■ dx

/ — — = C -+- tangx, . I -ï— - ==C — cotx,

J cos’x . ° J stn’.i-

r dx r dx ■ '

. I = C ~h arc tangx , t J = C arc cotx .

FORMUI.ES APPROXIMATIVES.

On tiouve aussi

' I = C -p are sin x, / — ■ — — — C -

.7 vi tx’ J y i — x 1

+- arc t'osa-,

( - =€ 4 - /tant» - .r,* */ ^ C — /tang( 45 ° — -uAi

J sin.r 2 J cos x °\ 1 2 /

I dx y i — x 1 — C, — x y' i — x : H — arc sin x.

52 . Connue ce ne sont pas les sinus et les tangentes cjue l’on emploie dans les calculs, mais seulement leurs logarithmes, il est indispensable dans la pratique de transformer les sommes et les différences des fonctions trigonométrie] lies en produits et en quotients; c’est ce qu’on appelle rendre une quantité calculable par logarithmes.

On a des formules pour certains cas particuliers ; telles sont les suivantes:

sin/? -+- siny = a sin - (p 4- 7 ) cos ^ ( p — 7),

sin p — sin 7 = a sin - (p — 7) cos ~ (p~ t- 7),

• ( eos/; -4- COS7 = 2 < ’ os ~( /' -I- 7 ) COS - \p — 7 j ,

ros p — COS7 = a sin - {p H- 7 ) sin - ( p — 7).

Mais il faut faire la transformation indiquée dans toutes les cirronstances possibles.

Soit

la somme de deux quantités quelconques, et posons a— tanga, é = tang( 3 ;

nous aurons

y — tanga langf,

ou bien

^ sin a ^ sin p sin a cos p-h sin p cosa

cos a cos p Cos a cos p

et enfin

sin (a -h p)

cos a cos p

quantité calculable par logarithmes; on a d'ailleurs trouvé aussi par logarithmes les angles a et (S.

Cette formule est absolument générale, car une quantité quelconque peut être représentée par une tangente, puisque les tangentes s’étendent depuis — co jusqu’à -+- oo . S’il s’agissait de la différence a — A de deux quantités, on trouverait

sin fa — p)

^ cos X cos p

Cependant on peut arriver au même résultat d’un£ manière encore plus simple. Comme il ne s’agit que de la valeur absolue des quantités, nous pouvons supposer que a et A sont positifs dans la somme

Posons alors

- = ta»g : ? ,

on calculera o par logarithmes, et l'on aura

, = «(,+ tang> ? )=^,

ce qui se calcule aussi facilement par logarithmes. En supposant, comme on peut toujours le faire, a > A , on pourrait poser en-

core

d’où

-=cos y ,

ou bien

X = o(l-|- COS if 1 ) ;

r = 2 « t'os I -y-

foumui.es approximatives.

Mais la transformation qui donne

cos" ^

est préférable, parce que. l’angle auxiliaire y est calculé par une tangente, tandis que i se calcule par un cosinus; or on doit regarder généralement le calcul des angles comme obtenu avec plus de précision par les tangentes que par les sinus et cosinus, parce que les différences des logarithmes des tangentes sont toujours plus grandes dans le meme endroit de la Table que celles des logarithmes de ces autres lignes (*) .

L’usage du sinus sera plus avantageux que celui du cosinus pour lés arcs très-petits, et celui du cosinus pour les arcs très-près de 90 degrés.

Il serait facile de rendre calculable par logarithmes une somme de trois quantités et d’un nombre plus considérable, en les ajoutant une à une.

Soit maintenant la différence y = er — b de deux quantités: puisqu’il s’agit de la valeur absolue de celte différence, nous avons n'^> b , ce qui donne

car on peut poser b

j = a (1 — sin*ij>);

— ;=sin J !j, puisque

? Cr-

on aura donc ‘

y — a cos" <p. ' " , •

Nous allons prendre des exemples très-simples pour éclaircir cette méthode. Cherchons, dans un cercle dont le rayon est égal à l’unité, la somme du côté du çarré inscrit et du côté du triangle équilatéral inscrit; il faut donc poser

y == sji -4- v '3 == V /a

(*) Cela suppose neanmoins ces différences assez petites pour que fôir puisse appliquer la proportion des laides.

et aussi

ou plutôt

<: Il A I» l TU F. TBOlbl KM L.

tang ? =!— ,

/ umgy V y /3 \ 11 7 v'”’

I\ étant le rayon des Tables, égal à io", on aura donc Ltangy — îo = I(L 3 — ]-?.) = 0,0440228,

ce qui donne

en négligeant les fractions de seconde.

Ensuite

ou plutôt y —

et

ços’ÿ

cos’o •

L y = 2° -h - L 2 — 2 L cos f = o,4y77<).i8;

donc

0n trouve, en effet,

V 2 sin’ifi

Calculons encore

et posons ce qui donne

2 L sin œ = 20 H — L 2 ^ L 3 .

Ainsi *

L sin y = 9,9559772 et 9 = 64 " 38 ' 8 ".

Par conséquent

■ F0R1UU1.ES approximatives.

donc