IM— I

Quant aux exposants, celui de a diminue d’une unité à chaque terme en même temps que celui de x augmente d’nne unité.

Quant aux coefficients , celui d’un terme quelconque se forme en multipliant le terme précédent par l’exposant de a dans ce terme et divisant par le nombre des termes qui précèdent.

Posant - = z, on trouve • •

o + l=(i(l-)-j) et (rt -t- x)" = a m (i -f- z)» ; on a d’ailleurs

mz m(m — i

Maintenant, si x est très-petit, il reste

.r'j m = a ,n -~ (- ma"'

CHU’ITllK "CHOISI r .H K.

c’est-à-dire que, si l’on augmente la quantité tu d'une quantité très-petite x , l’accroissement de a" aura pour coefficient de x la dérivée ma «le a m .

27. Comme la formule du binôme est vraie, non-seulement pour m entier et positif, mais aussi pour les exposants fractionnaires et négatifs, on peut en conclure les développements de

i — t— s ) 1 et de -f- e = ( i — t— 3 )* » tels qu’ils ont été

trouvés dans le chapitre I".

Kn effet, celte formule donne

développement déjà connu et qu’il est facile de vérifier par celle autre méthode.

On trouve ensuite

ce qui ramène à un développement déjà connu par les coefficients indéterminés; mais ici on voit plus facilement la loi des termes. Enfin, on retrouve les résultats approximatifs.

( 1 -f- tv) 1 1 S Ct ( I -f- êy‘

28. Nous indiquerons le logarithme d’un nombre quelconque x, par /x, Lx ou Iogx, suivant que la base du système est le nombre e dans le système de Néper, le nombre îo dans celui de lîriggs ou des logarithmes ordinaires, ou bien un nombre quelconque a ' -dans un système arbitraire.

D’après cela, nous aurons

!og, i +-*) = loge ( x

et, par suite ,

Ces séries sont convergentes quand x est compris entre -t - 1 et — i .

FORMULES APPROXIMATIVES

Changeons x en — x; il Vient

Ajoutant les deux valeurs précédentes •

log(n-x) et — logit — x),

on obtient

log— — == 2 loge. (

I — JT \

Si x est très-petit, il reste

log(i-(- x) =x loge.

Enfin, pour donner quelques formules relatives au calcul diffé- .-

v . 4: ' •' ,vl

rentiehet au calcul intégral" nous observerons que -rf.Jogx loge

Réciproquement,

(I . /x tic

On a aussi

et

I>e même

/ - 7 c= = =7rx>4f iV + i + C .«V » ."«*•. - v >ïJ

1 i'-*' ■ . •. Vv •-/•Vil

et

j <Uyfx' — x=C -r — '-l{x -h 'jx'—i) f* .

rt.r \/.r’+ I = C -t- - ^x’-t- I + l — . • ’ ,

- ' >V.', 4 /- vy *

• . Jf .■ ’ ' *