a — fa* 4-,** = c y i + p
on devrait poser, comme on l’a vu ,
— = lâng’o,
mais il est facile de reconnaître «pic cet angle ® n’est autre chose <|ue B.
Pouf les triangles quelcon«]ues, la relation
sin A sin B sin C
«>st aussi calculable par logarithmes.
Il en est «le même pour la formule '
lang - ( A — B \ = cot-C. - ;
(|iii résout un triangle où l’on donne l'angle Ç et les deux eûtes n et b qui le comprennent. Si l’on cherchait à trouver directement le côté c, il faudrait employer un angle auxiliaire <p , qui serait précisément égal à - (A -f- B). .....
Quand on considère une série de triangles, il arrive quelquefois que les logarithmes de ces côtés a et b sont connus d’avance ; pour éviter de chercher dans la Table la grandeur de a et de b , voici l’artifice que l’on emploie. Soit a le plus grand des deux côtés, nous poserons • ' -
tang y
et
^ang Ÿ= -
b i tung n . '
or, puisque
on aura donc
tang -( A — B) == cot - C . tang ( 45" — <j>).
Pour trouver les angles d’un triangle dont on connaît les trois côtés, on a la formule
cos A =
a bc
avec deux autres analogues pour les angles B et C, mais elles ne sont pas calculables par logarithmes. On les transforme de manière à obtenir
et, par suite,
tang - A = 4/ 'i J W -r-- •
FORMULES ATBBOXIMATIVtS. 6l
i 1 tang ^ A
En remplaçant tang - A par — ^ — r et employant les compléments arithmétiques, on trouve ^
L tang - A = - [L [p — b) -+- L [p — c) -4- C l Lp -h C‘ L [p — a ) }. ’ . \ ; ■ *
Ici lp == a -+- b -f- c. Cette formule est préférable aux deux autres, non-seulement «parce que la tangente est plus avantageuse que. le sinus elle cosinus , mais parce que, si l’on veut déterminer
les trois angles, le calcul des valeurs tang - A , tang - B , tang - C
n’exige que les logarithmes de/>, p — fl, p. — b, p — <?, tandis que le sinus ét le cosinus forceraient aussi à calculer les logarithmes '■ de a , b et c.
Soit S la surface du triangle ; on a aussi
Cette expression est un cas particulier de celle qui donne la surface du quadrilatèr^inscrit dont les côtés sont a, b, c , il et dont le périmètre ip = a -f- b 4- e -f- d', on a
En revenant au triangle, nous trouvons pour expression du rayon du cercle circonscrit
n — abc
lies rayons du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits seront s , S „ S s
ce qui donne les relations
on a aussi
Soient D , D', D', D'" les distances du centre du cercle eircon-
t>2 CUAHTt K TttOISlKMK.
scritau centre du cercle inscrit et à ceux dès cercles ex-inscrits, on a les relations
D : = Il J — îRr, D' J = R 1 -+- îRr',
Enfin, soient A, B, C les trois angles d’un triangle, c'est-à-dire' <jue A + B + C = i8o°, on a
col (- cot — -+- cot - :
: COt— COt - COt - ) 2 2 2
tahg, A + lang B - 4 - tangC = tangA tangB tangE,
sin A -+- sin B -j- siu C — 4 cos - A cos - B cos - C ,
ccs A -4- cos B 4- cos C — i = 4 si'* — A sin — B sin - C,
formules calculables |>ar logarithmes.
54. Dans la trigonométrie sphérique, les formules relatives aux triangles rectangles sont encore calculables sans tranformation.
Elles sont au nombre de six :
cos a = vos b cos c ,
sin b == sin a sin B , *
sin c =: sin a sinC,
tang b — tang a cos C ,
tang c = tang a cos B ,
rang b =sinc tang B,
tang c — sin b tang C ,
cos B == sin C cos b ,
cos C — ' siu B cqsc,
cos a — -cot B cot C .
•TiR. u.
fïo” - b
On pourra donc résoudre directement tous les cas possibles.
A moins de faire un usage fréquent de ces formules, il n’est pas toujours facile de se les rappeler. Voici, pour y parvenir, une règle mnémonique donnée par Mauduit.'
Mettez les cléments, angles et côtés, à la suite sur les côtés d’un pentagone; seulement prenez- les compléments des côtés adjacents à l’angle droit. Alors vous aurez à combiner
.*■ ‘ @igitg.èd
FORMULES .VP P RO Xl M AT4 V FS . ^3
trois côtés consécutifs du pentagone; ou bien deux côté» consécutifs ct le troisième opposé à l’un d’eux
Dans ^premier cas, le cosinus de V élément intermédiaire est égal au produit des cotangentes des deux autres.
Dans le second cas, le cosinus de l'élément opposé est égal au pro- (luit (les sinus des deux autres.
Il est facile de vérifier cette règle en retrouvant les six f</rmules. ’ . ' * i
Passons maintenant aux triangles quelconques. On calculé par logarithmes la relation
sin A sin B sin G
sin a sin b ~ ' ’ sin c ‘ > . l .
Pour calculer les angles d’un triangle sphérique dont on connaît les trois côtés, on a la formule
cos A =r
cos a — ros b cos c sinô-MHc .
ainsi que les deux équations analogues.
Mais comme elles né sont pas calculables par logarithmes, ou leur substitue les suivantes, en posant toujours isp — a 4: b H- c:
sin a a = v /SZHSÏËÎIHfl ,
V sin b sin c
'cos - A-= y ; ,
2 V ’ sin b sin e
et enfin . ’ „ v *
. tangi A — i /W} ^-b.,« 0 \p^e) è ■ y - 2 V sin p sin [p — a) ,' 4 '.
formule préférable aux deux premières.
De même, pour cajoulei; les côtés quand on connaît les angles, on trouve - ’ .
W'- cos A + c»» B cos C f • . ' '
sin B sin G ■* • . • “
avec les deux relations analogues : dé là ou conclut les formules
(ta . CHAVITBE TSOISIKMR.
calculables par logarithmes :
. a /sin P sin ^
sln — t / : — - — :
2 V sin B si
sinC
— P) sin (C — P)
sin B sin C
et
tan:
en posant
a / sin P sin : 2 y sin (B — P i
i sin (C — P ) A + B + C- i8o°.
On passe de l’on à l’autre de ces problèmes par la considération du triangle,polaire.
En comparant les formules logarithmiques que nous avons obtenues, on trouve les résultats suivants, connus sous le nom àe fortnu/cs tic Delambrc :
sinÿ(A-t-B) cos ±(a — b)
COS-jC , COSjC
sin{(A — B) sini(o — b)
• cos^C sin|c
cos -j- ( A -t- B ) cos ÿ ( a H- b)
- sin-jC Cos-jc
- - - cos i ( A — B ) sin \ (a - 4 - b)
sin ÿ C sin -J- c
Ensuite , divisant la seconde de ces équations par la quatrième, la première par la troisième, la seconde par la première,, et enfin la quatrième par la troisième, il -vient
tang ^ ( A — B ) = cot
tang-(A -l-B) = cot-C.
tang - (a — b ) — tang - c
tang- («ri- b ) — tang - c
sin 7
sin 7
COS j
sin
sin
HA
cos
HA
2 ' CpS 7 ( A + 1! )
'Digifizedby'Gpdgle
FORMULES APPROXIMATIVES. 65
Ce sont les formules ou analogies de Nêper : elles achèvent la résolution îles triangles sphériques.
Nous n’avons pas fait mention de la formule
cot a sin b — cos b cos C + sin C cot A ,
qui est susceptible de six permutations. Elle n’est point nécessaire pour obtenir les formules précédentes, et d’ailleurs elle est difficile à retenir et encore plus à calculer par logarithmes.
Soit S la surface d’un triangle sphérique que l’on sait avoir pour valeur
S = A + B + C — ir =.aP,
Simon Lhuiliier a trouvé la formule suivante :
S „ A p p — u p — b p — c tang ^ tang - tang — tang tang — —
Cela suppose, comme on le sait, que l'on prenne le triangle trirectangle pour unité de surface et l’angle droit pour unité d’angle (*).
315. Les formules de la trigonométrie sphérique sont susceptibles de certaines simplifications approximatives quand le rayon de la sphère sur laquelle elles sont tracéès est très-grand relativement à la longueur des côtés. Comme c’est ce qui a lieu pour la terre, ces considérations sont très-utiles pour la géodésie.
En effet, il faut bien distinguer le rayon R = io'“ des Tables logarithmiques, et le rayon r de la sphère sur laquelle se trouve le" triangle. Du reste, il est facile de les rétablir; ainsi, par exemple, la formule.
cos a — cos b cos c
CQS A =' : — ; r— — —
■- - sin b sine
• (*) C’cst-à-dirc que le rapport de l’aru'Ie S avec (|0 dcgrcs est égal au rapport de la surface cherchée avec celle du triangle trircctangle de la même sphère.
doit être remplacée par celle-ci :
cos A =
cos cos - • cos -
sin- • sinr r
en appelant /• le rayon de la sphère, on même par cette autre :
cos - cos - cos -
cos A
. b . c sm — sin r r
si l’on veut faire Hsage des Tables.
On voit donc que les côtés a , b, c étant exprimés en mètres, il faudra chercher, par la proportion connue, le nombre de degrés
abc
auquel correspondent les rapports -> -, -, afin de pouvoir appliquer le calcul par logarithmes.
Mais si r est très-grand relativement h ces côtés a, b, c, on pourra poser avec une grande approximation
„,2 =I J^(ïy + '(:y
et y
.an 1 /«V
