SID
. On aura une approximation semblable pour les sinus et cosinns
b c abc
de - et de -, puisque — » - et - ne sont autre chose que des
rapports numériques très-petits.
En appliquant ce qui précède à la formule
eosA =
cos cos - cos -
sin - • sm r r
on arrive au théorème de Legendre, ainsi Conçu :
, FOXMUI.ÏS APPROXIMATIVES. . . 69
Le triangle Sphérique très-peu courbe dont les angles sont A, B, C et tes côtes opposés a y b, c, répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur a, b, c, et dont les angles opposés
sont A — -x e , B — — t , C — -s, t étant l'excès de la somme des v ■ o S 3
angles du triangle sphérique sur deux angles droits.
On trouvera la démonstration de ce théorème, ainsi que d’autres approximations analogues, dans l’appendice qui termine la Trigonométrie de Legendre.
56. Une des applications les plus importantes de ces formules approximatives dans lesquelles on néglige les termes suffisamment petits consiste dans la recherche des niaxima et tninima.
•Soit • , 1 " - - •
et donnons à la variable x un accroissement quelconque A.r; la fonction y recevra Un . accroissement correspondant Ay, qui pourra quelquefois être négatif, mente si 1 x est positif. D’après le développement général de f\x 4 - Ax), nous aurons
Y ri- Ay —/(x) +f(x) Ax -f-
Comme y.— f {x.), il reste
Ay
Si Ax est infiniment petit, négligeons son carré et ses puissances supérieures, il reste à Ja limite
Ay = /'.{x) 4r.' *
Cette égalité fait voir que la fonction croît avec la variable si f[x) est positif pour la valeur que l’on considère, et décroît, au contraire, quand la variable augmente, si f [x) est négatif. Mais dans ces deux circonstances, il n’y a ni maximum ni minimum de y, car Ay change de signe avec A x, tandis que, si la quantité x donnait pour y une valeur plus grande ou plus petite que celles qui la précèdent et lu suivent immédiatement, 1 croîtrait avant et
après x, ou bien diminuerait avant et après.»-, c’est-à-dire que A y aurait le même signe pour ±Ax.
Cela est impossible, à moins que l’on n’ait
car, même sans regarder A.r et Ay comme infiniment petits et sans négliger complètement les puissances supérieures de Ax, ort peut concevoir que le. premier ferme donne son signe h tout le développement.
Supposons donc
il reste
A y — LA Zi A=X + — A 3 .T + • • • .
Ainsi Ay aura le même signe pour ± A et il y aura maximum ou minimum suivant le signe de J" (x). Si °> A y est
aussi négatif de part et d’autre de la valeur x, par conséquent y =/(x) sera maximum pour cette valeur x. Si, au contraire, f" (x)>o, A y est positif pour ±Ax; donc x rendra minimum la fonction y==/'(x).
Tout cela suppose que f" (x) n’est pas nul. Si l’on avait
en même temps que
ce serait maintenant le terme
qui donnerait son signe à la valeur de Ay, et comme ce terme change lui-même de signe avec Ax, on verrait, en répétant les raisonnements qui précèdent, que la condition cherchée serait
et qu’il y aurait maximum ou minimum d’après le signe de
On poursuivrait ainsi jusqu’à ce qu’on trouvât une derivee qui
' FORMULES APPROXIMATIVES b()
ne fût pas nulle; si elles l’étaient toutes, on ne pourrait rien conclure. Nous écartons également le cas dans lequel une ou plusieurs dérivées seraient infinies.
57. Nous venons de considérer les fonctions explicites, c’est-àdire celles qui sont de la forme y = /(x); on peut aussi trouver le maximum ou le minimum de y quand cette fonction est implicite, ce qui veut dire qu’elle est donnée par une relation de la forme ‘ •»
Nous avons trouvé qu’il y avait maximum ou minimum de y quand lim ~ — o, c’est-à-dire quand ~ = f (x) =; o. Par conséquent il suffira de différentiel' l’équation
ce qui donne
ou bien
, àx ' idf\
\Ty)
(ly * \ ,
Ainsi le coefficient différentiel — est égal au rapport de la déri-
dx y
vée relative à x avec la dérivée relative à y, pris en signe contraire.
La condition f'[x) = o revient donc à
df . df
— =o, ou bien a — = oo-.
dx dy
Cette théorie serait en défaut si les deux dérivées — ? ~~ étaient
dx dy
à la fois nulles ou infinies ; il en serait de même si l’une des deux se présentait sous la forme
o - oc * . .
. - ou — ,
o co
JO CUA.PITRK TROISIEME.
à moins que ces apparônces indéterminées ne pussent se réduire à des résultats finis.
Le calcul différentiel montrerait sans peine ce qu’il faudrait faire s’il y avait plus de deux variables explicites ou implicites. Soit
on trouve
du ±= - — dx ■ dx
fdy + fd*.
rir dz
et la condition, ou plutôt les conditions nécessaires pour que u soit maximum ou minimum, sont contenues dans les équations
dx
dr
dz
58. Nous prendrons comme exemple la question suivante"': Circonscrire à une sphère donnée un cône de volume minimum. Soient CD = R le rayon de la sphère, SD = x R la hauteur Fig. 3. du cône et AD le rayon de sa base. Le vo-
s. lu me dc .ce cône sera
V = - w (a: + R) AD ;
soit donc
' y= [x-y R) . AD . • ,
Soit sur SA la perpendiculaire CK = R : les triangles rectangles SAD, SCE sont semblables, puisqu’ils ont un angle commun en S,
.r SA
de plus , on a
